§ 1.7.2 定积分在物理中的应用
【 学 情 分 析 】 ：
学 生 已 经 学 习 了 一 些 简 单 的 物 理 问 题 ， 但 是 还 没 有 接 触 到 使 用 高 等 数 学 中 的 定 积 分 解
决 问 题 （ 中 学 物 理 不 会 涉 及 ），所 以 对 于 学 生 而 言 ， 本 节 是 他 们 在 中 学 阶 段 利 用 微 积 分 理
解 和 解 决 物 理 问 题 的 唯 一 的 一 节 课 ． 学 生 经 过 学 习 ， 如 果 教 师 引 导 得 当 ， 那 么 学 生 无 论
是 对 数 学 的 微 积 分 的 理 解 ， 还 是 对 物 理 问 题 的 看 法 都 会 产 生 质 的 飞 跃 （ 由 现 象 到 本
质 ）．另 外 ， 学 生 在 进 行 本 节 的 内 容 之 前 ， 应 该 复 习 一 些 力 学 的 相 关 知 识 ， 例 如 功 ， 胡 克
定 律 ， 万 有 引 力 定 律 ， 电 场 力 等 等 ． 要 注 意 从 定 积 分 的 意 义 入 手 ， 说 明 不 少 物 理 量 都 可
以 用 定 积 分 进 行 计 算 （ 量 的 累 积 ）．
【 教 学 目 标 】 ：
（ 1） 知 识 与 技 能 ： 通 过 举 例 复 习 变 速 直 线 运 动 的 路 程 ， 引 导 学 生 解 决 变 力 所 作 的 功
等 一 些 简 单 的 物 理 问 题 ．
（ 2） 过 程 与 方 法 ： 利 用 问 题 的 物 理 意 义 ， 有 时 也 要 注 意 借 助 于 定 积 分 的 几 何 意 义 ，
用 “ 数 形 结 合 ” 的 思 想 方 法 解 决 问 题 ．
（ 3） 情 感 态 度 与 价 值 观 ： 体 会 数 学 在 物 理 的 应 用 ， 也 即 是 在 客 观 物 质 世 界 的 应 用 。
【 教 学 重 点 】 ：
解 决 变 力 所 作 的 功 等 一 些 简 单 的 物 理 问 题 ． 进 一 步 巩 固 利 用 定 积 分 解 决 实 际 问 题 的
思 路 和 方 法 ．
【 教 学 难 点 】 ：
理 解 问 题 的 物 理 意 义 ， 并 且 转 化 为 数 学 问 题 ， 借 助 于 定 积 分 解 决 ．
【 教 学 过 程 设 计 】 ：
教学环节 教 学 活 动 设 计 意 图
一、
变 速
直 线
运 动
的 路
程 问
题
师 ： 在 我 们 这 一 节 课 里 ， 我 们 一 起 来 讨 论 几 个 常 见 的 物 理
问 题 ， 解 决 这 些 问 题 ， 将 要 使 用 到 微 积 分 的 知 识 ． 在 这 些
问 题 ，我 们 自 然 很 少 用 到 的 变 量 x，而 是 会 使 用 到 不 同 的 字
母 （ 代 表 不 同 的 物 理 量 ） 作 为 变 量 进 行 研 究 和 计 算 ．
1． 变 速 直 线 运 动 的 路 程
我 们 知 道 ，作 变 速 直 线 运 动 的 物 体 所 经 过 的 路 程 s，等 于 其
速 度 函 数 在 时 间 区 间 上 的 定 积 分 ， 即
．
简 单 的 说 就 是 路 程 是 速 度 的 积 分 ．
（ 课 本 P65 ） 例 题 3 一 辆 汽 车 的 速 度 － 时 间 曲 线 如 图 所
示 ． 求 汽 车 在 这 1min 行 驶 的 路 程 ．
师 （ 分 析 ） ： 我 们 如 果 能 够 知 道 速 度 函 数 ， 就 能 应 用 公 式
巡 视 ， 具 体 指 导 学
生 ．找特 别 的 解 法 ．
( )( ( ) 0)v v t v t= ≥ [ ],a b
( )db
a
s v t t= ∫计 算 ． 请 大 家 独 立 思 考 一 下 应 该 如 何 解 决 ．
生 ： 独 立 解 答 后 再 相 互 交 流 ．
生 ： 根 据 O， A， B， C 四 点 坐 标 ， 确 定 OA， AB， BC 所 在
的 直 线 方 程 ， 写 出 分 段 函 数 的 解 析 式 ．
分 段 函 数 ， 分 段 求 定 积 分 ．
生 （ 总 结 ） ： 首 先 要 根 据 图 象 写 出 解 析 式 ， 然 后 用 变 速 直
线 运 动 的 路 程 公 式 求 出 路 程 ．
师 ： 还 有 其 他 想 法 吗 ？
生 ： （ 思 考 ）
生 ： 可 以 由 变 速 直 线 运 动 的 路 程 公 式 和 定 积 分 的 几 何 意 义 ，
也 就 是 速 度 函 数 图 象 与 x 轴 的 面 积 即 路 程 ， 可 以 直 观 地 得
出 路 程 即 为 图 所 示 的 梯 形 OABC 的 面 积 ． 即
师 （ 点 评 ） ： 我 们 从 “ 数 形 结 合 ” 的 角 度 理 解 定 积 分 的 概
念 并 解 决 问 题 ， 这 种 解 法 更 为 简 洁 ． 但 是 一 般 只 适 用 于 容
易 求 出 面 积 的 图 形 ．
可 以 用 提 问 的 方 式
让 学 生 思 考 、讨论 ，
使 学 生 进 一 步 从
“ 数 形 结 合 ” 的 角
度 理 解 定 积 分 的 概
念 并 解 决 问 题 ．
二、
变力
作功
2． 变 力 作 功
师 ： 我 们 知 道 一 物 体 在 恒 力 F（ 单 位 ： N） 的 作 用 下 做 直 线
运 动 ， 如 果 物 体 沿 着 与 F 相 同 的 方 向 移 动 s（ 单 位 ： m），
则 力 F 所 作 的 功 为 ．
现 在 问 题 拓 展 ： 如 果 这 个 力 F 是 一 个 变 力 ， 即 物 体 在 变 力
的 作 用 下 做 直 线 运 动 ，并且 物 体 沿 着 与 相 同 的 方 向
从 移 动 到 ， 那 么 如 何 计 算 变 力 所 作 的 功
呢 ？
师 ： 我 们 知 道 在 求 变 速 直 线 运 动 的 路 程 ， 在 下 图 之 中
速 度 曲 线 与 x 轴 的 所 为 的 面 积 为 路 程 s， 如 果 把 下 图 的
变 力 F 类 比 为 上 图 的 速 度 v， 位 移 x 类 比 为 时 间 t， 那 么 在
下 图 中 ，
由 学 生 熟 悉 的 物 理
背 景 引 入 ．
恒 力 作 功 的 问 题 是
学 生 熟 悉 的 ， 变 力
作 功 的 问 题 是 恒 力
作 功 问 题 的 自 然 引
申 ． 与 求 变 速 直 线
运 动 的 路 程 一
样 ． 引 导 学 生 类 比
求 变 速 直 线 运 动 路
程 的 过 程 ， 自 己 推
导 出 变 力 作 功 的 公
式 ． 进 — 步 体 验 用
定 积 分 解 决 问 题 的
思 想 方 法 ．
学 生 对 弹 簧 的 平 衡
位 置 和 伸 长 (压 缩 )
量 、 弹 性 限 度 、 弹
性 系 数 、 胡 克 定 律
需 要 有 正 确 的 认
识 , 教 师 在 需 要 的
时 候 要 恰 当 补 充 提
示 ．
( )v t
(30 60) 30 1350(m)2OABCs S
+ ×= = =梯形
W Fs=
( )F x ( )F x
x a= ( )x b a b= < ( )F x
W
( )v t变 力 作 功 的 问 题 完 全 跟 变 速 直 线 运 动 相 类 似 ， 可 以 用 “ 四
部 曲 － 分 割 ， 近 似 代 替 ， 求 和 ， 取 极 限 ”，解 决 变 力 作 功
的 问 题 ．
即
师 ： 变 力 做 功 还 有 一 个 常 见 的 例 子 ， 就 是 关 于 弹 簧 ． 我 们
用 压 缩 一 个 弹 簧 ， 弹 簧 要 恢 复 原 长 ， 就 要 给 我 们 手 掌 弹
力 ． 弹 簧 压 缩 越 厉 害 ， 弹 力 越 大 ． 胡 克 定 律 就 是 说 明 这 样
一 个 事 实 ： 在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力 与弹
簧拉伸（或压缩）的长度 x 成正比，即 ．
师：其中常数 是比例系数，称为弹性系数（倔强系数），恒为正
值．不同类型的弹簧有不同的 值．例如汽车的底盘的避震系统的弹
簧有很大的 值，我们平时使用的活动圆珠笔的弹簧只有很小的 值．
例 题 4：如 图 ， 在 弹 性 限 度 内 ， 将 一 弹 簧 从 平 衡 位 置 拉 到 离
平 衡 位 置 处，求克服弹力所作的功．
解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力 与弹簧拉伸（或
压缩）的长度 x 成正比，即 ，其中常数 是比例系数．
由变力作功公式，得到
答 ： 克 服 弹 力 所 作 的 功 为 ．
( )db
a
W F x x= ∫
( )F x
( )F x kx=
k
k
k k
l m
( )F x
( )F x kx= k
2 2
00
1 1d (J)2 2
l lW kx x kx kl= = =∫
21
2 kl J三 、
实 践
新 知
练 习 ： 1、 由 物 理 学 知 道 ， 质 量 分 别 为 相 距 为 的 两 个
质 点 之 间 的 万 有 引 力 的 大 小 为 ， 其 中 为 引 力 常
数 ， 引 力 的 方 向 沿 着 两 质 点 的 连 线 方 向 ． 那 么 ， 把 质 量 分
别 为 的 两 个 物 体 从 相 距 拉 近 到 相 距 ，万有 引 力 所 作
的 功 是 多 少 ？
解 ： 依 题 意 得 ，
为 练 习 A 组 2 题 ，
作 业 B 组 第 4 题 作
一 个 铺 垫
四 、
巩 固
新 知
1. P67 练 习 1， 2
2. P67 习 题 A 组 2
五 、
总 结 归
纳
1. 作 变 速 直 线 运 动 的 物 体 所 经 过 的 路 程 s，等 于 其 速 度 函 数
在 时 间 区 间 上 的 定 积 分 ， 即
．
2.如 果 这 个 力 F 是 一 个 变 力 ，即物 体 在 变 力 的 作 用 下 做
直 线 运 动 ，并 且 物 体 沿 着 与 相 同 的 方 向 从 移 动 到
， 那 么 变 力 所 作 的 功 ．
3.在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力 与弹簧拉伸（或
压缩）的长度 x 成正比，即 ，其中常数 是比例系数．
m2m1
m2m1
b
a
1 2,m m r
1 2
2
m mF G r
= G
1 2,m m a b
1 2
1 22 2
1d da a
b b
m mW G r Gm m rr r
= =∫ ∫
1 2
1 2 1 2
( )1 1 1a
b
Gm m a bGm m Gm mr b a ab
− = − = − =
( )( ( ) 0)v v t v t= ≥ [ ],a b
( )db
a
s v t x= ∫
( )F x
( )F x x a=
( )x b a b= < ( )F x ( )db
a
W F x x= ∫
( )F x
( )F x kx= k六 、
布 置 作
业
1. P67 习 题 A 组 3， 4， 5， 6
2. P67 习 题 B 组 4 B 组 题 4 平 行 班 可
以 作 为 选 做
（简单题）
1. 如果 1N 能拉长弹簧 1cm，为了弹簧拉长 6cm，所耗费的功为（ ）
(A)0.18J (B)0.26J (C)0.12J (D)0.28J
答案：A
解释：设 ，当 N 时， ，则 ．
2. 将一弹簧压缩 x 厘米，需要 4x 牛顿的力，将它从自然长度压缩 5 厘米，作的功为
答案：0.5 焦耳
解释：由 牛顿/米，∴ ，∴ （焦耳）
3、如果 10N 的力能使弹簧压缩 10cm，为在弹性限度内将弹簧拉长 6cm，则力所做的功为
（ ）
A．0.28J B．0.12J C．0.26J D．0.18J
答案：D
解释：设 ，当 N 时， ，则 。
4、物体作变速直线运动的速度为 v(t)，当 t=0 时，物体所在的位置为 ，则在 秒末时它所在的位置为（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
解释：设 秒末时它所在的位置为 S，又在时间 段的位移 ，又 ，∴
。
（难题）
5、汽车以每小时 32 公里的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以匀减速 米/秒 2 刹车，则从开
始刹车到停车汽车走了约( )
A．19.75 米 B．20.76 米 C．22.80 米 D．24.76 米
答案：A
解释：已知 米/秒，∵ ，∴ ，停车时 ，∴ ，∴
6、物体 A 以速度 （米/秒）在一直线上运动，同时物体 B 也以速度 r=10t（米/秒）在同一直线
上与 A 同方向运动，问多少时间后 A 比 B 多运动 5 米，此时，A、B 走的距离各是多少？
解析 依题意物体 A、B 均作变速直线运动，所以可借助变速直线运动的路程公式求解。
解 A 从开始到 t 秒所走的路程为：
∫ 1
0
)(t
dttv ∫+ 1
00 )(t
dttvs
00
1 )( sdttvt −∫ ∫− 1
00 )(t
dttvs
13 2 += tR
( )F x kx= 1F = 0.01mx = 100k = 0.06 0.062
00
100 d 50 0.18(J)W x x x= = =∫
( ) 0.04F x kx k= ⇒ = ( ) 0.04F x x= 5 52
00
0.04 d 0.02 0.05W x x x= = =∫
( )F x kx= 10F = 0.1mx = 100k = 0.06 0.062
00
100 d 50 0.18(J)W x x x= = =∫
0s 1t
1t [ ]10,t 0( )s t S s= − 1
0
( ) ( )dt
s t v t t= ∫
1
0 0
( )dt
S s v t t= + ∫
2a =
0
80
9v = ( ) '( ) 2a t v t= = − 0 0
80( ) ( )dt= 29
t
v t v a t t= + −∫ 0v = 40
9t =
40
40 929
0
0
80 1600( ) ( )d 19.7539 81s t v t t t t = = − = ≈ ∫ 。
B 从开始到 t 秒所走的路程为： 。
由题意： ，即
解得 t=5（秒）
此时： （米），
（米）。
答：5 秒后 A 比 B 多运动 5 米，此时，A、B 走的距离分别是 130 米和 125 米。
∫ +=+= t
A ttdttS 0
32 )13(
∫ == t
B ttdtS 0
2510
5+= BA SS 55 23 +=+ ttt
130553 =+=AS
12555 2 =×=BS
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