2.1几个常见函数的导数(选修2-2).doc

§1.2.1 几个常见函数的导数 【学情分析】： 本节重要是介绍求导数的方法.根据导数定义求导数是最基本的方法.但是,由于最终总会归结为求极 限,而本章并没有介绍极限知识,因此,教科书只是采用这种方法计算 这五个常见函数的导数.学生只要会用导数公式和求简单函数的导数即可. 【教学目标】： （1）用导数定义,求函数 的导数. （2）能用基本初等函数的导数公式和导数运算法则求简单函数的导数. （3）理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题，培养学生的应用意识. 【教学重点】： 能用导数定义,求函数 的导数. 【教学难点】： 能用基本初等函数的导数公式和导数加减运算法则求简单函数的导数. 【教学过程设计】： 教学环节 教学活动 设计意图 一、复习 引入 1、导数概念及其几何意义； 2、求函数的导数的方法是: （1）求函数的改变量 （2）求平均变化率 （3）取极限，得导数 为课题引入作铺垫. 二、讲授新课 1．函数 的导数 根据导数定义，因为 所以 函数 导数 表示函数 图像（图 3.2-1）上每一点处的切线的 斜率都为 0．若 表示路程关于时间的函数，则 可 以解释为某物体的瞬时速度始终为 0，即物体一直处于静止 状态． 2．函数 的导数 教师板演 形成规范 深刻认识函数的内涵， 养成用数学知识解释 现实问题的习惯. 2 1, , , ,y c y x y x y y xx = = = = = 2 1, , , ,y c y x y x y y xx = = = = = 2 1, , , ,y c y x y x y y xx = = = = = )()( xfxxfy −∆+=∆ x xfxxf x y ∆ −∆+=∆ ∆ )()( 'y = ( )f x′ = x y x ∆ ∆ →∆ 0 lim ( )y f x c= = ( ) ( ) 0y f x x f x c c x x x ∆ + ∆ − −= = =∆ ∆ ∆ 0 0 lim lim 0 0 x x yy x∆ → ∆ → ∆′ = = =∆ y c= 0y′ = 0y′ = y c= y c= 0y′ = ( )y f x x= =因为 所以 函数 导数 表示函数 图像（图 3.2-2）上每一点处的切线的 斜率都为 1．若 表示路程关于时间的函数，则 可 以解释为某物体做瞬时速度为 1 的匀速运动． （以教师计算演示为主,说明根据定义求导数这种方法的具 体操作过程.） 让学生模仿, 根据具体步骤亲自尝试求导过程. 3．函数 的导数 因为 所以 函数 导数 表示函数 图像（图 3.2-3）上点 处的切 线的斜率都为 ，说明随着 的变化，切线的斜率也在变 化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看， 表明：当 时，随着 的增加，函数 减少得越来 越慢；当 时，随着 的增加，函数 增加得越来 越快．若 表示路程关于时间的函数，则 可以 解释为某物体做变速运动，它在时刻 的瞬时速度为 ． 4．函数 的导数 因为 让学生上黑板演示，教 师作出评价，并且引导 学生归纳出幂函数的 导数公式. ( ) ( ) 1y f x x f x x x x x x x ∆ + ∆ − + ∆ −= = =∆ ∆ ∆ 0 0 lim lim1 1 x x yy x∆ → ∆ → ∆′ = = =∆ y x= 1y′ = 1y′ = y x= y x= 1y′ = 2( )y f x x= = 2 2( ) ( ) ( )y f x x f x x x x x x x ∆ + ∆ − + ∆ −= =∆ ∆ ∆ 2 2 22 ( ) 2x x x x x x xx + ∆ + ∆ −= = + ∆∆ 0 0 lim lim(2 ) 2 x x yy x x xx∆ → ∆ → ∆′ = = + ∆ =∆ 2y x= 2y x′ = 2y x′ = 2y x= ( , )x y 2x x 0x < x 2y x= 0x > x 2y x= 2y x= 2y x′ = x 2x 1( )y f x x = = 1 1 ( ) ( )y f x x f x x x x x x x −∆ + ∆ − + ∆= =∆ ∆ ∆所以 函数 导数 5．函数 的导数 因为 所以 推广：若 ，则 。 说明：请注意公式中的条件是 ,但根据我们所掌握的知 识,只能就 的情况加以证明.这个公式称为幂函数的导数公式.事 实上 可以是任意实数. 三、师生互动，继 续探究 探 究 1 ： 在 同 一 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 画 出 函 数 的图象，并根据导数的定义，求它们 的导数. (1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？ (2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？ (3)函数 增（减）的快慢与什么有关？ 教师指导学生分组进行探究性学习，分别展示探究结论，教 师给予分析、评价并总结. 探究 2：画出函数 的图象.根据图象，描述它的变化情 况，并求出曲线在点 处的切线方程. 问题逐层深入，为后继 学习做个铺垫。 培养学生数形结合的 能力，并掌握求切线方 程的方法 2 ( ) 1 ( ) x x x x x x x x x x − + ∆= = −+ ∆ ∆ + ⋅∆ 2 20 0 1 1lim lim( ) x x yy x x x x x∆ → ∆ → ∆′ = = − = −∆ + ⋅∆ 1y x = 2 1y x ′ = − ( )y f x x= = ( ) ( )y f x x f x x x x x x x ∆ + ∆ − + ∆ −= =∆ ∆ ∆ ( )( ) 1x x x x x xx x x x + ∆ −= = + ∆ +∆ + ∆ + 0 0 1 1lim lim( ) 2x x yy x x x x x∆ → ∆ → ∆′ = = =∆ + ∆ + *( ) ( )ny f x x n Q= = ∈ 1( ) nf x nx −′ = n Q∈ *n N∈ n 2 , 3 , 4y x y x y x= = = ( 0)y kx k= ≠ 1y x = (1,1) 15 3 5 4 2 3 (1) (2) ( 0) (3) ( 0) (4) ( 0) y x y x x y x x y x x − = = ≠ = > = >四、运用新知，体 验成功 练习 1．求下列函数的导数. 练习 2．求三次曲线 在点 处的切线方程. 通过多角度的练习，并 对典型错误进行讨论 与矫正，使学生巩固所 学内容，同时完成对新 知的迁移。 五、课堂小结 (1)求函数 的导数的一般方法： ①求函数的改变量 . ②求平均变化率 . ③取极限，得导数 ＝ . (2)常见函数的导数公式： ； . (12)作业布置:教科书 P13 探究二(函数变式: ),P18A 组 1,2,5 注:如果环节(8) ③中未完成则课后做作业. 练习与测试： A．基础题. 1．求下列函数的导数： （1） （2） （3） （4） 答案：（1） （2） （3） （4） 2．已知函数 ，则 （ ） （A） （B） （C） （D） 答案：C 3．已知函数 ，则 （ ） （A） （B） （C） （D） 答案：D 15 3 5 4 2 3 (1) (2) ( 0) (3) ( 0) (4) ( 0) y x y x x y x x y x x − = = ≠ = > = > 3y x= (2,8) )(xfy = )()( xfxxfy −∆+=∆ x xfxxf x y ∆ −∆+=∆ ∆ )()( /y ( )f x′ = x y x ∆ ∆ →∆ 0 lim 0'=C 1)'( −= nn nxx 1y x x = + 12y x= y x x= 4 1y x = 5 3y x= ' 1112y x= ' 3 2y x= ' 54y x−= − 2 ' 53 5y x −= 2( )f x x= ' (3)f = 0 2x 6 9 1( )f x x = ' ( 2)f − = 4 1 4 4− 1 4 −4．已知函数 的切线的斜率等于 ，则其切线方程有（ ） （A）1 条 （B）2 条 （C）多余 2 条 （D）不存在 答案：B B．难题 1．已知 是曲线 上两点，求与直线 平行的曲线 的切线方程． 2．设曲线 过点 的切线与直线 所围成的三角形面积为 ，求 . 3( )f x x= 3 ( 1,1), (2,4)P Q− 2y x= PQ 2y x= ' ( 1,1), (2,4) 1 2 1 1 1,2 4 1 1 4 2 4 4 1 0 PQ P Q k y x x y y x x y − ∴ = = = = = − = − − − = 解： 令 得 所以曲线的切线方程为： 即 3y x= 3( , )a a , 0x a y= = 1 3 a 3 ' 2 3 3 2 2 3 3 3 ( ) | 3 ( , ) 3 ( ) 3 2 0 20, ; ,3 1 2( ) 12 3 1 x ak x a a a y a a x a a x a y y x a x a y a S a a a a == = ∴ − = − − − = = = = = = − = ∴ = ±  解： 过点 的切线方程为 即 令 得 得