2.2基本初等函数和导数运算法则(选修2-2).doc

§1.2.2 基本初等函数和导数运算法则 【学情分析】： 上一节课已经学习了用导数定义这种方法计算 这五个常见函数的 导数,而且已经初步接触了导数加减运算法则.本节将继续介绍导数乘除运算法则. 【教学目标】： （1）能用基本初等函数的导数公式和导数加减运算法则求简单函数的导数. (2) 会用导数乘除运算法则求简单函数的导数. （3）加强学生对运算法则的理解与掌握，学会归纳与概括. 【教学重点】： 两个乃至多个函数四则运算的求导法则,复合函数的求导法则等，都是由导数的定义导出的，要掌握 这些法则，须在理解的基础上熟记基本导数公式，从而会求简单初等函数的导数. 【教学难点】： 合理应用四则运算的求导法则简化函数的求导过程. 【教学过程设计】： 教学环节 教学活动 设计 意图 一、复习引入 五种常见函数 、 、 、 、 的导数公式及 应用 函数 导数 为课 题引 入作 铺垫. 二．新课讲授 （一）基本初等函数的导数公式表 淡化 证明， 直接 给出 公式. 2 1, , , ,y c y x y x y y xx = = = = = y c= y x= 2y x= 1y x = y x= y c= ' 0y = y x= ' 1y = 2y x= ' 2y x= 1y x = ' 2 1y x = − y x= ' 1 2 y x = *( ) ( )ny f x x n Q= = ∈ ' 1ny nx −=（二） 导 数 的 运 算 法 则 导数运算法则 1． 2． 3． （2）推论： （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 函数 导数 三．典例分析 例 1．假设某国家在 20 年期间的年均通货膨胀率为 ，物价 （单位：元） 与时间 （单位：年）有如下函数关系 ，其中 为 时 的物价．假定某种商品的 ，那么在第 10 个年头，这种商品的价格上涨 的速度大约是多少（精确到 0.01）？ 解：根据基本初等函数导数公式表，有 所以 （元/年） 因此，在第 10 个年头，这种商品的价格约为 0.08 元/年的速度上涨． 例 2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． 及时 运用 新知 识，巩 固练 习，让 学生 体验 成功， 为了 使学 生实 现从 掌握 [ ]' ' '( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x± = ± [ ]' ' '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x⋅ = ± [ ] ' ' ' 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) 0)( ) ( ) f x f x g x f x g x g xg x g x   −= ≠   [ ]' '( ) ( )cf x cf x= y c= ' 0y = *( ) ( )ny f x x n Q= = ∈ ' 1ny nx −= siny x= ' cosy x= cosy x= ' siny x= − ( ) xy f x a= = ' ln ( 0)xy a a a= ⋅ > ( ) xy f x e= = ' xy e= ( ) logaf x x= ' 1( ) log ( ) ( 0 1)lnaf x xf x a ax a = = > ≠且 ( ) lnf x x= ' 1( )f x x = 5% p t 0( ) (1 5%)tp t p= + 0p 0t = 0 1p = ' ( ) 1.05 ln1.05tp t = ' 10(10) 1.05 ln1.05 0.08p = ≈（1） （2）y ＝ ； （3）y ＝x · sin x · ln x； （4）y ＝ ； （5）y ＝ ． （6）y ＝（2 x2－5 x ＋1）ex （7） y ＝ 【点评】 ① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须 细心、耐心． 例 3 日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费 用不断增加．已知将 1 吨水净化到纯净度为 时所需费用（单位：元）为 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1） （2） 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数． （1） 因为 ，所以，纯净度为 时， 费用的瞬时变化率是 52.84 元/吨． （2） 因为 ，所以，纯净度为 时，费 用的瞬时变化率是 1321 元/吨． 函数 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计 算可知， ．它表示纯净度为 左右时净化费用的瞬时变化 率，大约是纯净度为 左右时净化费用的瞬时变化率的 25 倍．这说明，水 的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快． 知识 到运 用知 识的 转化 四、概括梳理， 形成系统 （小结） 1．基本初等函数的导数公式表 2．能结合其几何意义解决一些与切点、切线斜率有关的较为综合性问题. 3 2 3y x x= − + xx − − + 1 1 1 1 x x 4 x x ln1 ln1 + − xxx xxx sincos cossin + − %x 5284( ) (80 100)100c x xx = <