2.3复合函数的导数(选修2-2).doc

§1.2.3 复合函数的导数 【学情分析】： 在学习了用导数定义这种方法计算常见函数的导数,而且已经熟悉了导数加减运算法则后.本节将继 续介绍复合函数的求导方法. 【教学目标】： (1)理解掌握复合函数的求导法则. (2)能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导 (3)培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律． 【教学重点】： 简单复合函数的求导法则，也是由导数的定义导出的，要掌握复合函数的求导法则，须在理解复合过 程的基础上熟记基本导数公式，从而会求简单初等函数的导数并灵活应用. 【教学难点】： 复合函数的求导法则的导入,复合函数的结构分析,可多配例题, 让学生对求导法则有一个直观的了解. 【教学过程设计】： 教学 环节 教学活动 设计意图 一、情 景 引 入 回忆我们上一节课的例 1，如果式子 中某商品的 ，那么在 第 10 个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？ 根据上一节课的内容，我们知道，求在第 10 个年头，这种商品的价格上涨的速度， 只需求 关于 的导数.但是如何求 关于 的导数呢？我们需要用到 新的知识，即“导数的运算法则”. 从实际 生活的例子 出发，使学 生对导数的 运算法则有 一个更深刻 的认识。 二、讲 授 新 课 （ 1 ） 导 数 的 四 则 运 算 导数的四则运算公式： ； ； 例 1．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数。 （1） （2） （3） 导数的乘、 除运算比较 容易出错， 要强调，引 起注意. （2） 复合 函数 的定 义. 一般地，对于两个函数 ，如果通过变量 可以表示成 的函数，那么称这个函数为函数 的复合函数. 例 1、试说明下列函数是怎样复合而成的？ (1) ； 直接给 出 定 义 , 并 与基本初等 函数相区别 和联系. ( ) (1 5%)tp t p= +  5p =  p t ( ) 5 1.05tp t = × t ' ' '1.[ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x f x g x± = ± ' ' '2.[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x= + ' ' ' 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3.[ ] ( ( ) 0)( ) [ ( )] f x f x g x f x g x g xg x g x −= ≠ 3 2 3y x x= − + ( )( )23 2 5y x x= + − sin xy x = ( ) ( )y f u u g x= =和 ,u y x ( ) ( )y f u u g x= =和 32 )2( xy −=⑵ ； ⑶ ⑷ ． 例 2、写出由下列函数复合而成的函数： ⑴ ， ；　　⑵ ， ． 说明： 讨论复合函 数的构成时， “ 内 层 ”、 “外层”函 数一般应是 基本初等函 数，如一次 函数、二次 函数、指数 函数、对数 函数、三角 函数等． （ 3 ） 复 合 函 数 的 导 数 思考：如何求函数 的导数？ 复合函数 的导数和函数 的导数间的关系为 . 例 3、求下列函数的导数： （1） ； （2） ； （3） 对于（1） ①能否用学过四则运算解决问题? ②新方法：将函数 看作是函数 和函数 复合函数，并 分别求对应变量的导数如下： ， 两个导数相乘，得 ， 从而有 对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求 y′x 时，就可以转化为求 yu′ 和 u′x 的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同。 （学生自主完成（2）、（3））。 两种方法作 对照与比较, 体会不同的 解决方法与 策 略 . 鼓 励 学生模仿并 及时修正. 2sin xy = cos( )4y x π= − )13sin(ln −= xy uy cos= 21 xu += uy ln= xu ln= ln( 2)y x= + ( ( ))y f g x= ( ), ( )y f u u g x= = ' ' ' x u xy y u=  2(2 3)y x= + 0.05 1xy e− += sin( )( , )y xπ ϕ π ϕ= + 其中 均为常数 2(3 2)y x= − 2y u= 3 2u x= − 2( ) 2uy u u′ ′= = (3 2) 3xu x′ ′= − = 2 3 2(3 2) 3 18 12u xy u u x x′ ′ = = − = −  xux uyy ''' ⋅=例 4、求 y=sin2(2x+ )的导数 分析: 设 u=sin(2x+ )时，求 ，但此时 u 仍是复合函数，所以可再设 v=2x+ . 解略. 三、巩 固与 提升 1、求 的导数． 解： 【点评】 求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层 向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简 计算结果． 2、求 的导数． 解 ： 【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理． 3、求 y ＝sin4x ＋cos 4x 的导数． 【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x＝(sin2x ＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－ sin22 x ＝1－ （1－cos 4 x）＝ ＋ cos 4 x．y′＝－sin 4 x． 【解法二】y′＝(sin 4 x)′＋(cos 4 x)′＝4 sin 3 x(sin x)′＋4 cos 3x (cos x)′ ＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x)＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x) ＝－2 sin 2 x cos 2 x＝－sin 4 x 【点评】 解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合 函数求导数，应注意不漏步． 4、曲线 y ＝x（x ＋1）（2－x）有两条平行于直线 y ＝x 的切线，求此二切线之间 的距离． 3 π 3 π 'xu 3 π 2sin(tan )y x= ' 2 ' 2 2 2[sin(tan )] cos(tan ) sec ( ) 2y x x x x= = ⋅ ⋅ 2 2 22 cos(tan ) sec ( )x x x= ⋅ ' 2 2 22 cos(tan ) sec ( )y x x x= ⋅ 2 2 x ay x ax −= − 2 2 ' 2 2 21 2 ( ) 2 2 2 x ax ax x a x axy x ax −⋅ − − − ⋅ −= − 2 2 2 2 22 2 2 ( 2 )2 2 a a x ax x axx ax x ax − −= = − −− − 2 2 ' 2 2 2 ( 2 ) a x axy x ax −= − − 2 1 4 1 4 3 4 1【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y′＝－3 x 2＋2 x ＋2 令 y′＝1 即 3 x2－2 x －1＝0，解得 x ＝－ 或 x ＝1． 于是切点为 P（1，2），Q（－ ，－ ）， 过点 P 的切线方程为，y －2＝x －1 即 x －y ＋1＝0． 显然两切线间的距离等于点 Q 到此切线的距离，故所求距离为 ＝ ． 四、课 堂小 结 ⑴复合函数求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函 数，然后再用复合函数的求导法则求导； ⑵复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代. (11)作业布置:教科书 P18A3,4(6),8,B3 练习与测试: 1．填空： (1) ；(2) 2.求下列函数的导数：(1)y= (2)y= (3)y=tanx (4)y= 3.判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正. 4.求 y= 的导数. 5.求 y= 的导数. 6.求函数 y=(2x2－3) 的导数. 参考答案: 1．(1)∵ 3 1 3 1 27 14 1 14| 1|3 27 2 − + + 16 227 22 2 2 )1( )()1)(()1( + −+=′ + x xx x x x xx x x 2 22 sin4 ))(1(sin)()sin2 1( +−=′+ xa xa + − 23 2 x x + xcos1 1 − 2 2 2 sin)cos1(2)cos1( x xxxx x x ++=′+ x x sin 1 2− xx x cos 4 2 3− 21 x+ 22 22 2 )1( )1()1()1( + ′+−+′=′ + x xxxx x x 22 2 )1( )2()1)(1( + −+= x xxx(2) 2. (1)y′=( )′ (2)y′=( )′ (3)y′=(tanx)′=( )′ (4)y′=( )′ ＝ 3.不正确，分母未平方，分子上正负号弄错. 4.y′=( )′ 5.y′=( )′ 2 222 )sin2( )sin2)(1(sin2)1()sin2 1( x xxxx x x ′+−′+=′+ x xxxx x xxxx 2 2 2 2 sin4 )cos2)(1(sin)4( sin4 )cos2)(1(sin22 +−=+−⋅= xa xa + − 2)( ))(()()( xa xaxaxaxa + ′+−−+′−= 22 )( 2 )( )()( xa a xa xaxa + −=+ −−+−= 23 2 x x + 22 22 )3( )3)(2()3()2( x xxxx ′+−′+= 34 2 4 2 3 4 9 123 9 )6)(2(3 x x x xx x xxx +−=−−=+−= x x cos sin 2)(cos )(cossincos)(sin x xxxx ′−′= xxx xx 2 22 22 seccos 1 cos sincos ==+= xcos1 1 − 2)cos1( )cos1(1)cos1(1 x xx − ′−⋅−−′= 22 )cos1( sin )cos1( sin)cos1(0 x x x xx −−=− −− 2 2 2 2 2 3 1 cos (1 cos ) (1 cos )( )( ) ( ) sin 2cos 2 x x x x x x x x x x x ′ ′+ + − +′ = + += − x x sin 1 2− 2 22 )(sin ))(sin1(sin)1( x xxxx ′−−′−= x xxxx 2 2 sin cos)1(sin2 −−−= xx x cos 4 2 3− 22 2323 )cos( )cos)(4(cos)4( xx xxxxxx ′−−′−=5.y′=( )′ 6. 分析: y 可看成两个函数的乘积，2x2－3 可求导， 是复合函数，可以先算出 对 x 的导数. 令 y=uv，u=2x2－3，v= , 令 v= ，ω=1+x2 = (1+x2) x′ = ∴yx′=(uv) x′=u x′v+uv x′ =(2x2－3) x′· +(2x2－3)· =4x 即 yx′= . xx xxxx xx xxxxxxxx xx xxxxxxxx 23 34 24 524 24 2322 cos cos)8(sin)4( cos sinsin4cos8cos cos )sincos2)(4(cos3 +−−= −+−−= −−−⋅−= x xxxx 2 2 sin cos)1(sin2 −−−= xx x cos 4 2 3− 22 2323 )cos( )cos)(4(cos)4( xx xxxxxx ′−−′−= xx xxxx xx xxxxxxxx xx xxxxxxxx 23 34 24 524 24 2322 cos cos)8(sin)4( cos sinsin4cos8cos cos )sincos2)(4(cos3 +−−= −+−−= −−−⋅−= 21 x+ 21 x+ 21 x+ ω x xv vω ω′ ′ ′= ⋅ ( )ωω ′ 22 2 1 112 2)2(2 1 x x x xx + = + =−ω 21 x+ 21 x x + 2 3 2 3 2 1 6 1 321 x xx x xxx + += + −++ 2 3 1 6 x xx + +