3.1函数的单调性与导数(选修2-2).doc

§1．3．1 函数的单调性与导数（1 课时） 【学情分析】： 高一学过了函数的单调性，在引入导数概念与几何意义后，发现导数是描述函数在某一点的瞬时变化 率。在此基础上，我们发现导数与函数的增减性以及增减的快慢都有很紧密的联系。本节内容就是通过对 函数导数计算，来判定可导函数增减性。 【教学目标】： （1）正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； （2）掌握利用导数判断函数单调性的方法 （3）能够利用导数解释实际问题中的函数单调性 【教学重点】： 利用导数判断函数单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 【教学过程设计】： 教学 环节 教学活动 设计意图 情景 引入 过程 从高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数： 分析运动动员的运动过程： 上升→最高点→下降 运动员瞬时速度变换过程： 减速→0→加速 从 实 际 问 题 中 物 理 量入手 学 生 容 易 接受 实际 意义 向函 数意 义过 渡 从函数的角度分析上述过程： 先增后减 由正数减小到 0，再由 0 减小到负数 将实际的 量与函数 及其导数 意义联系 起来，过渡 自然，突破 理解障碍 引出 函数 单调 性与 导数 正负 的关 系 通过上述实际例子的分析，联想观察其他函数的单调性与其导数正负的关系 进 一 步 的 函 数 单 调 性 与 导 数 正负验证， 加 深 两 者 之 间 的 关 系 2( ) 4.9 6.5 10h t t t= − + + ( )h t ' ( )h t解：各函数的图象大概如下： （1） （2） （3） （4） 如图，导数 表示函数 在点 处的 切线的斜率． 在 处， ，切线是“左下右上”式的， 这时，函数 在 附近单调递增； 在 处， ，切线是“左上右下”式的， 这时，函数 在 附近单调递减． 我们能否得出以下结论： 在某个区间（a,b）内，如果 ，那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递增； 如果 ，那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递减 答案是肯定的 从导 数的 概念 给出 解释 表明函数在此点处的切线斜率是由左下向右上，因此在 附近单调递增 表明函数在此点处的切线斜率是由左上向右下，因此在 附近单调递减 所以，若 ，则 ，f(x)为增函数 用导数的 几何意义 理解导数 正负与单 调性的内 在关系，帮 助理解与 记忆 '( ) 1 0f x↔ = >增函数 0 '( ) 2x( - , ) ( , + ) 增函数 2 10 '( ) ' ( ) 0f x < ' ( )f x 1 4x< < ' ( ) 0f x > 4x > 1x < ' ( ) 0f x < 4x = 1x = ' ( ) 0f x = ( )y f x= 1 4x< < ' ( ) 0f x > ( )y f x= 4x > 1x < ' ( ) 0f x < ( )y f x= 4x = 1x = ' ( ) 0f x = ( )y f x= '( ) 0f x =丢出思考题：“ ”的点是否一定对应函数的最值（由于学生尚未解除“极 值”的概念，暂时还是以最值代替） 2、利用导数判断函数单调性以及计算求函数单调区间 例 2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间． （1） ； （2） （3） ； （4） 解：（1）因为 ，所以， 因此， 在 R 上单调递增，如图 3.3-5（1）所示． （2）因为 ，所以， 当 ，即 时，函数 单调递增； 当 ，即 时，函数 单调递减； 函数 的图像如图 3.3-5（2）所示． （3）因为 ，所以， 因此，函数 在 单调递减，如图 3.3-5（3）所示． （4）因为 ，所以 ． 当 ，即 时，函数 ； 当 ，即 时，函数 ； 函数 的图像如图 3.3-5（4）所示． 注：（3）、（4）生练 教材例 2 在教学环节中的处理方式： 可以先以 为例回顾我们高一判断函数单调性的定义法；再与我们导数 方法形成对比，体会导数方法的优越性。 引导学生逐步贯彻落实我们之前准备的“心法手册” 判断单调性→计算导数大小→能否判断导数正负 →Y，得出函数单调性； →N，求“导数大于（小于）0”的不等式的解集→得出单调区间 '( ) 0f x = 3( ) 3f x x x= + 2( ) 2 3f x x x= − − ( ) sin (0, )f x x x x π= − ∈ 3 2( ) 2 3 24 1f x x x x= + − + 3( ) 3f x x x= + ' 2 2( ) 3 3 3( 1) 0f x x x= + = + > 3( ) 3f x x x= + 2( ) 2 3f x x x= − − ( )' ( ) 2 2 2 1f x x x= − = − ' ( ) 0f x > 1x > 2( ) 2 3f x x x= − − ' ( ) 0f x < 1x < 2( ) 2 3f x x x= − − 2( ) 2 3f x x x= − − ( ) sin (0, )f x x x x π= − ∈ ' ( ) cos 1 0f x x= − < ( ) sinf x x x= − (0, )π 3 2( ) 2 3 24 1f x x x x= + − + ' ( ) 0f x > 2( ) 2 3f x x x= − − ' ( ) 0f x < 2( ) 2 3f x x x= − − 3 2( ) 2 3 24 1f x x x x= + − + 3( ) 3f x x x= +补充例题： 已知函数 y=x+ ，试讨论出此函数的单调区间. 解：y′=(x+ )′=1－1·x－2= 令 ＞0. 解得 x＞1 或 x＜－1. ∴y=x+ 的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞). 令 ＜0，解得－1＜x＜0 或 0＜x＜1. ∴y=x+ 的单调减区间是(－1，0)和(0，1) 要求根据函数单调性画此函数的草图 3、实际问题中利用导数意义判断函数图像 例 3．如图 3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积 相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度 与时间 的函数关系图像． 分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段 高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情 况．同理可知其它三种容器的情况． 解： 思考：例 3 表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化 的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？ 一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变 化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些． x 1 x 1 22 2 )1)(1(1 x xx x x −+=− 2 )1)(1( x xx −+ x 1 2 )1)(1( x xx −+ x 1 h t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 , 2 , 3 , 4B A D C→ → → → -2 2 -1 1 f x( ) = x+1 x xO y如图 6 所示，函数 在 或 内的图像“陡 峭”， 在 或 内的图像“平缓”． 教材例 3 的处理方式： 可以根据课程进度作为课堂练习处理 同时还可以引入类似的练习补充（如学生上学路上，距离学校的路程与时间的函数图 像） 堂上 练习 教材练习 2——由函数图像写函数导数的正负性 教材练习 1——判断函数单调性，计算单调区间 针 对 教 材 的 三 个 例 题 作 知 识 强化练习 提升 例 1、已知函数 在区间 上是增函数，求实 数 的取值范围． 解 ： ， 因 为 在 区 间 上 是 增 函 数 ， 所 以 对 恒成立，即 对 恒成立，解之得： 所以实数 的取值范围为 ． 说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函 数 单 调 性 关 系 ： 即 “ 若 函 数 单 调 递 增 ， 则 ； 若 函 数 单 调 递 减 ， 则 ”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解． 例 2、设 是函数 的导函数，将 和 的图象画在同一 个直角坐标系中，不可能正确的是（ D ） 内容 总结 体会导数在判断函数单调性方面的极大优越性 体会学习 导数的重 要性 课后练习： ( )y f x= ( )0 , b ( ), 0a ( ),b + ∞ ( ), a−∞ 2 32( ) 4 ( )3f x x ax x x R= + − ∈ [ ]1,1− a ' 2( ) 4 2 2f x ax x= + − ( )f x [ ]1,1− ' ( ) 0f x ≥ [ ]1,1x∈ − 2 2 0x ax− − ≤ [ ]1,1x∈ − 1 1a− ≤ ≤ a [ ]1,1− ' ( ) 0f x ≥ ' ( ) 0f x ≤ ( )f x′ ( )f x ( )y f x= ( )y f x′= a 图 6 y xO y xO y xO y xO A ． B． C． D ．1、函数 的递增区间是（ ） A B C D 答案 C 对于任何实数都恒成立 2、已知函数 在 上是单调函数,则实数 的 取值范围是（ ） A B C D 答案 B 在 恒成立， 3、函数 单调递增区间是（ ） A B C D 答案 C 令 4、对于 上可导的任意函数 ，若满足 ，则必有（ ） A B C D 答案 C 当 时， ，函数 在 上是增函数；当 时， ， 在 上是减函数，故 当 时取得最小值，即有 得 5、函数 的单调增区间为 ，单调减区间为___________________ 答案 6、函数 的单调递增区间是___________________________ 答案 7、已知 的图象经过点 ，且在 处的切线方程是 （1）求 的解析式；（2）求 的单调递增区间 3y x x= + ),0( +∞ )1,(−∞ ),( +∞−∞ ),1( +∞ ' 23 1 0y x= + > 1)( 23 −−+−= xaxxxf ),( +∞−∞ a ),3[]3,( +∞−−∞  ]3,3[− ),3()3,( +∞−−∞  )3,3(− ' 2( ) 3 2 1 0f x x ax= − + − ≤ ),( +∞−∞ 24 12 0 3 3a a∆ = − ≤ ⇒ − ≤ ≤ xxy 14 2 += ),0( +∞ )1,(−∞ ),2 1( +∞ ),1( +∞ 3 ' 2 2 2 1 8 1 18 0,(2 1)(4 2 1) 0, 2 xy x x x x xx x −= − = > − + + > > R ( )f x '( 1) ( ) 0x f x− ≥ (0) (2) 2 (1)f f f+ < (0) (2) 2 (1)f f f+ ≤ (0) (2) 2 (1)f f f+ ≥ (0) (2) 2 (1)f f f+ > 1x ≥ ' ( ) 0f x ≥ ( )f x (1, )+∞ 1x < ' ( ) 0f x ≤ ( )f x ( ,1)−∞ ( )f x 1x = (0) (1), (2) (1),f f f f≥ ≥ (0) (2) 2 (1)f f f+ ≥ 32 xxy −= 2(0, )3 2( ,0),( , )3 −∞ +∞ ' 2 23 2 0, 0, 3y x x x x= − + = = =或 5523 −−+= xxxy 5( , ),(1, )3 −∞ − +∞ ' 2 53 2 5 0, , 13y x x x x= + − > < − >令 得 或 cbxaxxf ++= 24)( (0,1) 1x = 2y x= − )(xfy = )(xfy =解：（1） 的图象经过点 ，则 ， 切点为 ，则 的图象经过点 得 （2） 单调递增区间为 cbxaxxf ++= 24)( (0,1) 1c = ' 3 '( ) 4 2 , (1) 4 2 1,f x ax bx k f a b= + = = + = (1, 1)− cbxaxxf ++= 24)( (1, 1)− 5 91, ,2 2a b c a b+ + = − = = −得 4 25 9( ) 12 2f x x x= − + ' 3 3 10 3 10( ) 10 9 0, 0,10 10f x x x x x= − > − < < >或 3 10 3 10( ,0),( , )10 10 − +∞