3.2 函数的极值与导数(选修2-2).doc

§1．3．2 函数的极值与导数（1 课时） 【学情分析】： 在高一就学习了函数的最大（小）值，这与本小节所要研究的对象——函数极值有着本质区别的，学 生容易产生混淆，易把极大值当做最大值，极小值当做最小值。在认识理解导数大小与函数单调性的关系 后，结合函数图像直观地引入函数极值的概念，强化极值是描述函数局部特征的概念，使得学生对极值与 最值的概念区分开来，也为下节“函数的最值与导数”做好铺垫。 【教学目标】： （1）理解极大值、极小值的概念. （2）能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值. （3）掌握求可导函数的极值的步骤 【教学重点】： 极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 【教学难点】： 极大、极小值概念的理解，熟悉求可导函数的极值的步骤 【教学过程设计】： 教 学 环节 教学活动 设计意图 创 设 情景 观察图 3.3-8，我们发现， 时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么， 函数 在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的 符号有什么变化规律？ 放大 附近函数 的图像，如图 3.3-9．可以看出 ；在 ，当 时，函数 单调递增， ；当 时，函数 单调递减， ；这就说明，在 附近，函数值先增（ ， ）后减 （ ， ）．这样，当 在 的附近从小到大经过 时， 先正后负， 且 连续变化，于是有 ． 对于一般的函数 ，是否也有这样的性质呢？ 附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的 极值是就函数在某一点附近的小区间而言的.从图象观察得出，判别极大、极小值 的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号 t a= ( )h t t a= ( )h t ( )h a′ t a= t a< ( )h t ( ) 0h t′ > t a> ( )h t ( ) 0h t′ < t a= t a< ( ) 0h t′ > t a> ( ) 0h t′ < t a a ( )h t′ ( )h t′ ( ) 0h a′ = ( )y f x=利 用 教 材 在 § 3.3.1 中 的 例 1 引 入 函 数 的 极 值 概 念 ①观察 y=f(x)的图像在 x=1 点的函数值 f(1)与 x=1 附近的其他点的函数值的特征， 并描述在 x=1 点及其附近导数的正负： f(1)在 x=1 点及其附近是最小—— ； y=f(x)在 x=1 附近的左侧是单减的—— ； y=f(x)在 x=1 附近的右侧是单增的—— ； 提问：y=f(x)在 x=1 处是否整个函数的最小值？ 不是，只是 y=f(x)在 x=1 处附近的局部最小值 ②观察 y=f(x)的图像在 x=4 点的函数值 f(4)与 x=4 附近的其他点的函数值的特征， 并描述在 x=4 点及其附近导数的正负： 学生模仿完成 考 虑 到 极 值 与 最 值 容 易 混淆，学生对 已 有 知 识 的 同化易接受， 我 们 以 § 3.3.1 中 的 例 1 引 出 极 值的概念，具 体直观，同时 对 极 值 与 最 值 区 分 是 一 目了然的。 概 念 抽象 y=f(x)在定义域上可导， ①若 ，且 y=f(x)在 x=a 附近的左侧满足 ；在 x=a 附近的右侧 满足 ，则称点 a 叫做 y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值 ②若 ，且 y=f(x)在 x=b 附近的左侧满足 ；在 x=b 附近的右侧 满足 ，则称点 b 叫做 y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数 y=f(x)的极大值 由 具 体 函 数 图 像 抽 象 上 升 到 一 般 极 值概念 函 数 极 值 概 念 强 化 练习 概念判断练习： （１）函数的极大值是函数在定义域上的最大值 （２）函数在某个区间或定义域上的极大值是唯一的 （３）函数某区间上的极大值一定大于极小值 （４）函数的极值点，导数一定为零 （５）导数为零的点一定是函数的极值点 答案：（1）错（2）错（3）错（4）对（5）错 深 化 学 生 对 函 数 极 值 的 概念，以及函 数 取 极 值 与 的 逻辑关系 极 值 概 念 理 解 的 总 结 提 高 （ⅰ）极值是一个局部概念。由定义可知极值只是某个点的函数值与它附近点的 函数值比较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 （ⅱ）函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值 可以不止一个 （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小 值，如下图所示， 是极大值点， 是极小值点，而 > ，如下图 '(1) 0f = '( ) 0f x < '( ) 0f x > '( ) 0f a = '( ) 0f x < '( ) 0f x > '( ) 0f b = '( ) 0f x > '( ) 0f x < '( ) 0f a = 1x 4x )( 4xf )( 1xf如 何 判 别 f(x0) 是 极大、 极 小 值 填空： （1）若 满足 ，且在 的两侧 的导数________，则 是 的极值点， 是极值， （2）如果 在 两侧满足“左正右负”，则 是 的_______点， 是_______； （3）如果 在 两侧满足“左负右正”，则 是 的_______点， 是_______. 让学生总结 判断极值的 方法。 （１）异号； （２）极大 值；极大值； （３）极小 值；极小值 １、看图识极值（点） 说出极值点与相应的极值 例题 精讲 ２、求函数的极值（点） 例 1．（课本例 4）求 的极值 解： 因为 ，所以 。 令 ，得 下面分两种情况讨论： （1 ）当 >0, 即 ，或 时；（2 ）当 3 2( ) 3 9f x x ax x= + + − ( )f x 3x = − ( ) ( ) 2f x x x c= - 2x = c 6 ' 2 2 ' 2( ) 3 4 , (2) 8 12 0, 2, 6f x x cx c f c c c= − + = − + = = 或 2c = Ġ a b x y )(xfy ′= O Ƞ a b x y )(xfy ′= O6、函数 在 处取得极值，则 m=__________ 答案 0 7、已知函数 ，当 时，有极大值 ； （１） 求 的值；（2）求函数 的极小值 解：（1） 当 时， ， 即 （2） ，令 ，得 1( ) cos sin 22f x m x x= + 4x π= 23 bxaxy += 1x = 3 ,a b y ' 23 2 ,y ax bx= + 1x = ' 1 1| 3 2 0, | 3x xy a b y a b= == + = = + = 3 2 0, 6, 93 a b a ba b + = = − = + = 3 2 ' 26 9 , 18 18y x x y x x= − + = − + ' 0y = 0, 1x x= =或 0| 0xy y =∴ = =极小值