3.3函数的最大（小）值与导数(选修2-2).doc

§1．3．3 函数的最大（小）值与导数（1 课时） 【学情分析】： 这部分是在高一学过的函数单调性的基础上，给出判定可导函数增减性的方法，然后讨论函数的极值， 由极值的意义，结合图象，得到利用导数判别可导函数极值的方法，最后在可以确定函数极值的前提下， 给出求可导函数的最大值与最小值的方法 【教学目标】： （1）使学生理解函数的最大值和最小值的概念，能区分最值与极值的概念 （2）使学生掌握用导数求函数最值的方法和步骤 【教学重点】： 利用导数求函数的最大值和最小值的方法． 【教学难点】： 函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．熟练计算函数最值的步骤 【教学过程设计】： 教学 环节 教学活动 设计意图 复习 引入 设函数 f(x)在点 x0 附近有定义，f(x0)是函数 f(x)的一个极大值 f(x0)，x0 是极大值点，则 对 x0 附近的所有的点，都有 f(x)____f(x0) 设函数 f(x)在点 x0 附近有定义，f(x0)是函数 f(x)的一个极小值 f(x0)，x0 是极小值点，则 对 x0 附近的所有的点，都有 f(x)____f(x0) 知识的巩 固 概念 对比 回顾以前所学关于最值的概念，形成对比认识： 函数最大值的概念： 设函数 y=f(x)的定义域为 I.如果存在实数 M 满足： （1）对于任意的_____，都有 f(x)___M （2）存在__________ ，使得_______ 则称 M 为函数 y=f(x)的最________值 函数最小值的概念： 设函数 y=f(x)的定义域为 I.如果存在实数 M 满足： （1）对于任意的_____，都有 f(x)___M （2）存在__________ ，使得_______ 则称 M 为函数 y=f(x)的最________值 思考：你觉得极值与最值的区别在哪里？ 让学生发 现极值与 最值的概 念区别， 观察右图闭区间 上 函数 的图象，你能找出 它的极大值、极小值吗？ 图中 、 是极大值， 、 是极小值． 你能找出函数 在区间 上的最大、最小值吗？ 容易得出：函数 在 上的最大值是 ，最小值是 [ ]ba, )(xf )( 1xf 3( )f x 2( )f x )x(f 4 )x(fy = [ ]ba, )(xf [ ]ba, )(bf 2( )f x a b x y x1 x 2 x 3 x4a x y x1 x2 x3 x4 x5 b 观察下面函数在区间 [ a , b ] 上的图象, 回答： （1）函数在[a,b]上有极大值或极小值吗?在哪一点取得极大值或极小值? （2）函数在[a,b]上有最大值或最小值吗?如果有, 最大值或最小值分别是什么? 概念 辨析 练习 （1）函数的极大（小）值一定是函数的最大（小）值，极大（小）值点就是最大（小） 值点 （2）函数的最大（小）值一定是函数的极大（小）值，最大（小）值点就是极大（小） 值点 （3）函数 y=f(x)在 x=a 处取得极值是函数 y=f(x)在 x=a 处 取得最值的____________（充要性） 通过练习 深化他们 对函数取 极值与最 值的区别 对 极 值 与 最 值 概 念 的 深 化 理 解 （1）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近 函数值得出的． （2）函数的最值是描述函数在整个定义域上的整体性质，函数的极值是描述函数在某 个局部的性质 （3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一 个，也可能没有一个 点评提高 闭 区 间 上 的 函 数 最 值 问 题 （1）在闭区间上函数最值的存在性： 通过观察一系列函数在闭区间上的函数图像，并指出函数的最值及相应的最值点： 一般性总结： 在闭区间 上连续的函数 在 上必有最大值与最小值． （连续函数的闭区间定理——数学分析） （2）在闭区间上函数最值点的分析： 既然在闭区间 上连续的函数 在 上必有最值，那么最值点会是哪些 点呢？ 通过上述图像的观察，可以发现最值点可能是闭区间的端点，函数的极值点 有无其他可能？ 没有——反证法可说明 本节的主 要内容及 主要结论， 也是求函 数最值的 理论根据 和方法指 引 需 要 注 意 的 地 方 判断正误： （1）在开区间 内连续的函数 一定有最大值与最小值 （2）函数 在闭区间 上一定有最大值与最小值 （3）函数 在闭区间 上连续，是 在闭区间 上有最大值与最小值的 充分条件而非必要条件． 说明： （1）F； （2）F； （3）T [ ]ba, )(xf [ ]ba, [ ]ba, )(xf [ ]ba, ( , )a b )(xf )(xf [ ]ba, )(xf [ ]ba, )(xf [ ]ba, y = f (x) y = g (x)开区间 内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函 数的最值 例题 精讲 例 1．（课本例 5）求 在 的最大值与最小值 解： 由例 4 可知，在 上，当 时， 有极小值，并且极小值为 ，又由于 ， 因此，函数 在 的最大值是 4，最小值是 ． 上述结论可以从函数 在 上的图象得到直观验证． 例 2．求函数 在区间 上的最大值与最小值 解：先求导数，得 令 ＝0 即 解得 导数 的正负以及 ， 如下表 从上表知，当 时，函数有最大值 13，当 时，函数有最小值 4 例 3．已知 , ∈(0,+∞).是否存在实数 ,使 同 时满足下列两个条件：（1） )在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数； （2） 的最小值是 1，若存在，求出 ，若不存在，说明理由. 解：设 g(x)= ∵f(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数 ∴g(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数. ∴ ∴ 解得 经检验，a=1,b=1 时，f(x)满足题设的两个条件. X -2 （-2,-1） -1 （-1,0） 0 （0,1） 1 （1,2） 2 y/ － 0 ＋ 0 － 0 ＋ y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13 求闭 区间 上连 续函 数最 值的 设函数 在 上连续，在 内可导，则求 在 上的最大值与最小值 的步骤如下： ⑴求 在 内的极值； ),( ba ( ) 31 4 43f x x x= − + [ ]0 , 3 [ ]0 , 3 2x = ( )f x 4(2) 3f = − ( )0 4f = ( )3 1f = ( ) 31 4 43f x x x= − + [ ]0 , 3 4 3 − ( ) 31 4 43f x x x= − + [ ]0 , 3 52 24 +−= xxy [ ]2,2− xxy 44 3/ −= /y 044 3 =− xx 1,0,1 321 ==−= xxx /y )2(−f )2(f 2±=x 1±=x 2 3( ) log x ax bf x x + += x a b、 )(xf )(xf )(xf a b、 x baxx ++2    = = 3)1( 0)1(' g g    =++ =− 31 01 ba b    = = 1 1 b a )(xf [ ]ba, ( , )a b )(xf [ ]ba, )(xf ( , )a b方法 与步 骤总 结 ⑵将 的各极值与 、 比较得出函数 在 上的最值 课后练习： 1、函数 在区间 上的最大值和最小值分别为（ ） A 5，-15 B 5，-4 C -4，-15 D 5，-16 答案 D 2、函数 在区间 上的最小值为（ ） A B C D 答案 D 3、函数 的最大值为（ ） A B C D 答 案 A 令 ， 当 时 ， ； 当 时 ， ， ，在定义域内只有一个极值，所以 4、函数 在 上的最大值是__________最小值是__________ 答案 5、函数 在区间 上的最大值是 答案 ，比较 处的函数值，得 6、求函数 （1）求函数 的单调递减区间 （2）函数 在区间 上的最大值是 20，求它在该区间上的最小值 答案： ， 为减区间 )(xf )(af )(bf )(xf [ ]ba, 3 2( ) 2 3 12 5f x x x x= − − + [ ]0,3 344 +−= xxy [ ]2,3− 72 36 12 0 ' 3 ' 3 ' '4 4, 0,4 4 0, 1, 1 , 0; 1 , 0y x y x x x y x y= − = − = = < < > >令 当 时 当 时 x xy ln= 1−e e 2e 3 10 ' ' ' 2 2 (ln ) ln 1 ln 0,x x x x xy x ex x − ⋅ −= = = = x e> ' 0y < x e< ' 0y > 1( )y f e e = =极大值 max 1y e = ( ) cos sinf x x x x= − [ ]0,2π 2cosy x x= + [0, ]2 π 36 +π ' 1 2sin 0, 6y x x π= − = = 0, ,6 2 π π max 36y π= + 3 2( ) 3 9f x x x x a= − + + + ( )y f x= ( )y f x= [ ]2,2− ' 2( ) 3 6 9 3( 3)( 1) 0f x x x x x= − + + = − − + < ( ), 1−∞ − ( )3,+∞为增区间 > 所以 a=-2,所以最小值为 ( )1,3− (2) 8 3 4 9 2 22f a a= − + × + × + = + ( 2) 8 3 4 9 ( 2) 2f a a− = + × + × − + = + (2) 8 3 4 9 2 22 20f a a= − + × + × + = + = ( 1) 1 3 1 9 ( 2) 2 16f − = + × + × − − = −