同角三角函数的基本关系
教学目标：
1．进一步提高学生对三角函数定义的认识，通过本节课的学习，学生能够利用定义探
究同角三角函数的基本关系式．
2．鼓励学生发展实验观察、分析联想等技能，深化数形结合、分类讨论和等价转化的
思想，提高学生从特殊到一般的意识，完成此课后学生能够初步应用同角三角函数基本关系
式处理求值、证明和化简这三类问题．
3．培养学生对数学学科的兴趣，体验成果发现的愉悦，完成此课后学生能够对具体问
题开展合作交流、探究学习．
教学重点：利用定义、数形结合思想探究发现同角三角函数基本关系式，应用公式解决问
题．
教学难点：求值过程中角度范围问题、恒等式证明的不同角度、化简最终结果，以及在恒等
变形过程中公式的灵活应用．
教学方法：探究式、讲解法
教学用具：常规
授课类型：新知课
授课时数：1
教学过程：
一、复习引入：
1．在角 的终边上任取一点 ，它与原点的距离为 1，请分
别写出角 的正弦、余弦和正切值．
2．若角 在第二象限，请分别画出它的正弦线、余弦线和正切
线．
3．请分别计算下列各式：
（1）
（2）
（3） （4）
二、探究新知：
α ( , )P x y
α
α
2 2(cos30 ) (sin30 ) _______.° + ° =
2 2(sin30 ) (cos60 ) ______.° + ° =
tan 60 _______.° = sin 60 ______.cos60
° =°探究 1、三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的.你能从圆的几何性质出发，讨论一下同
一个角的三角函数之间的关系？
问题 1．观察第 3 题的结论，你有何发现？
问题 2．以上结论对任一个角 都成立吗？你能够说明吗？
（1） 对任一个角 都成立；
对任何一个不等于 的角 都成立．
（2）说明方法 1：用三角函数的定义说明（利用定义）
说明方法 2：用三角函数线说明（数形结合）
（3）体会从特殊到一般的认知规律，了解同角三角函数关系的几何意义.
结论：同角三角函数的基本关系：
文字语言：同一个角 的正弦、余弦的平方和等于 1，商等于角 的正切．
符号语言：平方关系—— （注意 与 的区别）
商数关系——
说明：“同角”有两层含义：
一、“角相同”（ 也成立），
二、对“任意角”（在使得函数有意义的前提下）关系式都成立．
三、新知应用：
例 1．已知 若 是第三象限角，求 的值．
解：
变化 1、已知 求 的值．
变化 2、 ，求 的值.
变化 3、已知 ，求 的值．
例 2．求证：
α
2 2(sin ) (cos ) 1α α+ = α
sin tancos
α αα = ( )2k k Z
ππ + ∈ α
α α
2 2sin cos 1α α+ = 2sin α 2sinα
sin tan ( , )cos 2k k Z
α πα α πα = ≠ + ∈
2 2sin 2 cos 2 1α α+ =
3sin ,5
α = − α cos ,tanα α
3sin ,5
α = − cos ,tanα α
tan 3ϕ = − sin ,cosϕ ϕ
tan 3α = 2cos 3sin
3cos 4sin
α α
α α
−
+
cos 1 sin
1 sin cos
α α
α α
+=−证法 1、由
所以原等式成立.
证法 2、
点评：证明恒等式常用方法：
例 3．化简下列各式：
（1） （2） （3）
点评：（1）公式的“变用”与“逆用”
（2）化简实际上是一种不指定答案的恒等变形，化简题一定要尽量化成最简形式，
本题不是特殊角，一般无须求出其余弦值，结果应最简（最好是常数）．
变化 1、已知 ，试求下列各式的值：
（1） （2）
四、课堂总结：同角三角函数基本关系
五、课后作业：
六、板书设计：课题----
同角三角函数的基本关系 例 1 例 2 例 3
七、课后反思：
cos 0, sin 1, 1 sin 0x x x≠ ≠ − + ≠知 所以
2 2
cos (1 sin ) cos (1 sin ) cos (1 sin ) (1 sin )
(1 sin )(1 sin ) 1 sin cos s
x x x x x x x
x x x x co x
+ + + += = = = =− + −左 右
2 2(1 sin )(1 sin ) 1 sin cos cos cosx x x x x x− + = − = =
1 sin 0 cos 0
cos 1 sin
1 sin cos
x x
x x
x x
− ≠ ≠
+∴ =−
且 ，
cos tanθ θ 2(1 tan )cosα α+ 100sin1 2−
1sin cos 2
α α− =
sin cosα α⋅ 4 4sin cosα α+
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