高一数学人教A版必修四教案：1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 Word版含答案.doc

1.4.1 正弦、余弦函数的图象 教学目标： 知识目标：（1）利用单位圆中的三角函数线作出 的图象，明确图象的 形状； （2）根据关系 ，作出 的图象； （3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些 有关问题； 能力目标：（1）理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法； （2）理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法； 德育目标：通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工 作精神； 教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象； 教学难点：作余弦函数的图象。 教学过程： 一、复习引入： 1．弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角。 2.正、余弦函数定义：设 是一个任意角，在 的终边上任取（异于原点的）一点 P （x,y） P 与原点的距离 r( ) 则比值 叫做 的正弦 记作： 比值 叫做 的余弦 记作： 3.正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点 P(x，y)，过 P 作 x 轴的垂线， 垂足为 M，则有 ， 向线段 MP 叫做角α的正弦线，有向线段 OM 叫做角α的余弦线． 二、讲解新课： 1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：为了作三 角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般 情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响 初学者对曲线形状的正确认识． （1）函数 y=sinx 的图象 第一步：在直角坐标系的 x 轴上任取一点 ，以 为圆心作单位圆，从这个圆与 x 轴 的交点 A 起把圆分成 n(这里 n=12)等份.把 x 轴上从 0 到 2π这一段分成 n(这里 n=12)等份. （预备：取自变量 x 值—弧度制下角与实数的对应）. Rxxy ∈= ,sin )2sin(cos π+= xx Rxxy ∈= ,cos α α 02222 >+=+= yxyxr r y α r y=αsin r x α r x=αcos MPr y ==αsin OMr x ==αcos 1O 1O第二步：在单位圆中画出对应于角 ， ， ,…，2π的正弦线正弦线（等价于 “列表” ）.把角 x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点 x 重合， 则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）. 第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数 y=sinx，x∈ [0，2π]的图象． 根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着 x 轴向右和向左连续地平行移动， 每次移动的距离为 2π，就得到 y=sinx，x∈R 的图象. 把角 x 的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点 x 重合，则正 弦线的终点的轨迹就是正弦函数 y=sinx 的图象. （2）余弦函数 y=cosx 的图象 探究 1：你能根据诱导公式，以正弦函数图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函 数的图象？ 根据诱导公式 ,可以把正弦函数 y=sinx 的图象向左平移 单位即得 余弦函数 y=cosx 的图象.（课件第三页“平移曲线” ） 正弦函数 y=sinx 的图象和余弦函数 y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线． 思考：在作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？ 2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）： 正弦函数 y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) ( ,1) (π,0) -1 1 x11x10x8x7x5x4x3x2x1 M5 M4 M2 M1 P11 P10 P9 P8 P7 P5 P4 P3 P2 P1 P0P6 o' x9O y x 6,0 π 3 π 2 π ( )x R∈ cos sin( )2x x π= + 2 π 2 π y=cosx y=sinx π 2π 3π 4π 5π 6π-π-2π-3π-4π-5π-6π -6π -5π -4π -3π -2π -π 6π5π4π3π2ππ -1 1 y x -1 1 o x y -1 1 x11x8x7x5x4x3x2x1 M1o' x9 P' M M' P o' O y x( ,-1) (2π,0) 余弦函数 y=cosx x∈[0,2π]的五个点关键是哪几个？(0,1) ( ,0) (π,-1) ( ,0) (2π,1) 只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点 法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握． 优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚可以 3、讲解范例： 例 1 作下列函数的简图 (1)y=1+sinx，x∈[0，2π]，　 （2）y=-COSx ●探究 2． 如何利用 y=sinx，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来 得到 （1）y＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的图象； （2）y=sin(x- π/3)的图象？ 小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。 ● 探究３． 如何利用 y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到 y ＝-cosx ， ｘ∈〔0，２π〕的图象？ 小结：这两个图像关于 X 轴对称。 ●探究４． 如何利用 y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到 y＝ 2-cosx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象？ 小结：先作 y=cos x 图象关于 x 轴对称的图形，得到 y＝-cosx 的图象， 再将 y＝-cosx 的图象向上平移 2 个单位，得到 y＝2-cosx 的图象。 ●探究５． 不用作图，你能判断函数 y=sin( x - 3π/2 )和 y=cosx 的图象有何关系吗？请在同一坐标 系中画出它们的简图，以验证你的猜想。 小结：sin( x - 3π/2 )= sin[( x - 3π/2 ) +2 π] =sin(x+π/2)=cosx 这两个函数相等，图象重合。 例 2　分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的 x 的集合： 三、巩固与练习 四、小结：本节课学习了以下内容： 1．正弦、余弦曲线 几何画法和五点法 2．注意与诱导公式，三角函数线的知识的联系 五、课后作业： 2 3π 2 π 2 3π 1(1)sin ;2x ≥ 1 5(2)cos ,(0 ).2 2x x π≤ <