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历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响， 可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不 断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情，它不仅有助于我们提高对函 数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展，数学学习的 巨大作用． （一） 马克思曾经认为，函数概念来源于代数学中不定方程的研究．由于罗马时代的丢番图 对不定方程已有相当研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽． 自哥白尼的天文学革命以后，运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，人 们在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自转和公转，那么下降的物体为什么不发 生偏斜而还要垂直下落到地球上?行星运行的轨道是椭圆，原理是什么?还有，研究在地球 表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度，以及炮弹速度对于高度和射程的影响等 问题，既是科学家的力图解决的问题，也是军事家要求解决的问题，函数概念就是从运动 的研究中引申出的一个数学概念，这是函数概念的力学来源． （二） 早在函数概念尚未明确提出以前，数学家已经接触并研究了不少具体的函数，比如对 数函数、三角函数、双曲函数等等．1673 年前后笛卡儿在他的解析几何中，已经注意到了 一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念， 因此直到 17 世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般 意义． 1673 年，莱布尼兹首次使用函数一词表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、 纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量．由此可以看出，函数一词最初的数学含义是相 当广泛而较为模糊的，几乎与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用另一名词“流量”来表 示变量间的关系，直到 1689 年，瑞士数学家约翰·贝努里才在莱布尼兹函数概念的基础上， 对函数概念进行了明确定义，贝努里把变量 x 和常量按任何方式构成的量叫“x 的函数”，表 示为 yx. 当时，由于连接变数与常数的运算主要是算术运算、三角运算、指数运算和对数运算， 所以后来欧拉就索性把用这些运算连接变数 x 和常数 c 而成的式子，取名为解析函数，还 将它分成了“代数函数”与“超越函数”． 18 世纪中叶，由于研究弦振动问题，达朗贝尔与欧拉先后引出了“任意的函数”的说 法．在解释“任意的函数”概念的时候，达朗贝尔说是指“任意的解析式”，而欧拉则认为是 “任意画出的一条曲线”．现在看来这都是函数的表达方式，是函数概念的外延． （三） 函数概念缺乏科学的定义，引起了理论与实践的尖锐矛盾．例如，偏微分方程在工程 技术中有广泛应用，但由于没有函数的科学定义，就极大地限制了偏微分方程理论的建 立．1833 年至 1834 年，高斯开始把注意力转向物理学．他在和 W·威伯尔合作发明电报 的过程中，做了许多关于磁的实验工作，提出了“力与距离的平方成反比例”这个重要的理 论，使得函数作为数学的一个独立分支而出现了，实际的需要促使人们对函数的定义进一步研究． 后来，人们又给出了这样的定义：如果一个量依赖着另一个量，当后一量变化时前一 量也随着变化，那么第一个量称为第二个量的函数．“这个定义虽然还没有道出函数的本质， 但却把变化、运动注入到函数定义中去，是可喜的进步．” 在函数概念发展史上，法国数学家富里埃的工作影响最大，富里埃深刻地揭示了函数 的本质，主张函数不必局限于解析表达式．1822 年，他在名著《热的解析理论》中说， “通常，函数表示相接的一组值或纵坐标，它们中的每一个都是任意的……，我们不假定这 些纵坐标服从一个共同的规律；他们以任何方式一个挨一个．”在该书中，他用一个三角级 数和的形式表达了一个由不连续的“线”所给出的函数．更确切地说就是，任意一个以 2π 为 周期函数，在〔－π，π〕区间内，可以由 表示出，其中 富里埃的研究，从根本上动摇了旧的关于函数概念的传统思想，在当时的数学界引起 了很大的震动．原来，在解析式和曲线之间并不存在不可逾越的鸿沟，级数把解析式和曲 线沟通了，那种视函数为解析式的观点终于成为揭示函数关系的巨大障碍． 通过一场争论，产生了罗巴切夫斯基和狄里克莱的函数定义． 1834 年，俄国数学家罗巴切夫斯基提出函数的定义：“x 的函数是这样的一个数，它对 于每个 x 都有确定的值，并且随着 x 一起变化．函数值可以由解析式给出，也可以由一个 条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法．函数的这种依赖关系可以存在， 但仍然是未知的．”这个定义建立了变量与函数之间的对应关系，是对函数概念的一个重大 发展，因为“对应”是函数概念的一种本质属性与核心部分． 1837 年，德国数学家狄里克莱（Dirichlet）认为怎样去建立 x 与 y 之间的关系无关紧 要，所以他的定义是：“如果对于 x 的每一值，y 总有完全确定的值与之对应，则 y 是 x 的 函数．”  在这个函数中，如果 x 由 0 逐渐增大地取值，则 f（x）忽 0 忽 1．在无论怎样小的区 间里，f（x）无限止地忽 0 忽 1．因此，它难用一个或几个式子来加以表示，甚至究竟能 否找出表达式也是一个问题．但是不管其能否用表达式表示，在狄里克莱的定义下，这个 f（x）仍是一个函数． 狄里克莱的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，以 完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受．至此，我们已可以说，函数概念、函数的本 质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义． （四） 生产实践和科学实验的进一步发展，又引起函数概念新的尖锐矛盾，本世纪 20 年代， 人类开始研究微观物理现象．1930 年量子力学问世了，在量子力学中需要用到一种新的函 数——δ-函数， 即ρ（x）＝ 0，x≠0， ∞,x=0． 且 δ-函数的出现，引起了人们的激烈争论．按照函数原来的定义，只允许数与数之间建 立对应关系，而没有把“∞”作为数．另外，对于自变量只有一个点不为零的函数，其积分 值却不等于零，这也是不可想象的．然而，δ-函数确实是实际模型的抽象．例如，当汽车、 火车通过桥梁时，自然对桥梁产生压力．从理论上讲，车辆的轮子和桥面的接触点只有一 个，设车辆对轨道、桥面的压力为一单位，这时在接触点 x=0 处的压强是 P（0）=压力／接触面=1／0=∞． 其余点 x≠0 处，因无压力，故无压强，即P（x）=0.另外，我们知道压强函数的积 分等于压力，即 函数概念就在这样的历史条件下能动地向前发展，产生了新的现代函数定义：若对集合 M 的任意元素 x,总有集合 N 确定的元素 y 与之对应，则称在集合 M 上定义一个函数，记为 y=f（x）.元素 x 称为自变元，元素 y 称为因变元． 函数的现代定义与经典定义从形式上看虽然只相差几个字，但却是概念上的重大发展， 是数学发展道路上的重大转折，近代的泛函分析可以作为这种转折的标志，它研究的是一 般集合上的函数关系． 函数概念的定义经过二百多年来的锤炼、变革，形成了函数的现代定义，应该说已经 相当完善了．不过数学的发展是无止境的，函数现代定义的形式并不意味着函数概念发展 的历史终结，近二十年来，数学家们又把函数归结为一种更广泛的概念—“关系”．