4.1生活中的优化问题举例（1）(选修2-2).doc

§1．4．1 生活中的优化问题举例(1) 【学情分析】： 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面： 1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、 效率最值问题。 【教学目标】： 1.掌握利用导数求函数最值的基本方法。 2.提高将实际问题转化为数学问题的能力. 提高学生综合、灵活运用导数的知识解决生活中问题的能 力 3．体会导数在解决实际问题中的作用. 【教学重点】： 利用导数解决生活中的一些优化问题． 【教学难点】： 将生活中的问题转化为用函数表示的数学问题，再用导数解决数学问题，从而得出问题的最优化选择。 【教学突破点】： 利用导数解决优化问题的基本思路： 【教法、学法设计】： 【教学过程设计】： 教学环 节 教学活动 设计意图 (1)复习 引入：提 问用导 数法求 函数最 值的基 本步骤 学生回答：导数法求函数最值的基本步骤 为课题作铺 垫. (2)典型 例题讲 解 例 1．海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图 1.4-1 所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为 128dm2,上、下两边各空 2dm,左、右两 边各空 1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？ 解：设版心的高为 xdm，则版心的宽为 dm,此时四周空白面积为 。 求导数，得 。 选择一个学 生感觉不是 很难的题目 作为例题， 让学生自己 体验一下应 用题中最优 化化问题的 解法。 解决数学模型 作答 用函数表示的数学问题优化问题 用导数解决数学问题优化问题的答案 128 x 128 512( ) ( 4)( 2) 128 2 8, 0S x x x xx x = + + − = + + > ' 2 512( ) 2S x x = −令 ，解得 舍去）。 于是宽为 。 当 时， 0. 因此， 是函数 的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为 16dm，宽为 8dm 时，能使四周空白面积最小。 答：当版心高为 16dm，宽为 8dm 时，海报四周空白面积最小。 (3) 利用 导数解 决优化 问题的 基本思 路： 1、 生活中的优化问题转化为数学问题 2、 立数学模型（勿忘确定函数定义域） 3、 利用导数法讨论函数最值问题 使学生对该 问题的解题 思路清析化。 (4)加强 巩固 1 例 2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 （1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本 是 分，其中 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售 1 mL 的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ 　　 （２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？ 解：由于瓶子的半径为 ，所以每瓶饮料的利润是 令 解得 （ 舍去） 当 时， ；当 时， ． 当半径 时， 它表示 单调递增，即半径越大，利润越高； 当半径 时， 它表示 单调递减，即半径越大，利润越 低． （1）半径为 cm 时，利润最小，这时 ，表示此种瓶内饮料的利润 还不够瓶子的成本，此时利润是负值． （2）半径为 cm 时，利润最大． 换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么 发现？ 使学生能熟 练步骤. ' 2 512( ) 2 0S x x = − = 16( 16x x= = − 128 128 816x = = (0,16)x∈ ' ( )S x (16, )x∈ +∞ ' ( )S x 16x = ( )S x 20.8 rπ r r ( ) 3 3 2 240.2 0.8 0.8 , 0 63 3 ry f r r r r rπ π π  = = × − = − < ≤   ( ) 20.8 ( 2 ) 0f r r rπ′ = − = 2r = 0r = ( )0 , 2r ∈ ( ) 0f r′ < ( )2 , 6r ∈ ( ) 0f r′ > 2r > ( ) 0f r′ > ( )f r 2r < ( ) 0f r′ < ( )f r 2 ( )2 0f < 6有图像知：当 时， ，即瓶子的半径为 3cm 时，饮料的利润与 饮料瓶的成本恰好相等；当 时，利润才为正值． 当 时， ， 为减函数，其实际意义为：瓶子的半径 小于 2cm 时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为 cm 时，利润最小． (5) 加强 巩固 2 例 3．磁盘的最大存储量问题 计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将 其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心 角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与 否可分别记录数据 0 或 1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。 为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于 ，每比特所占用的磁道 长度不得小于 。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的 比特数。 问题：现有一张半径为 的磁盘，它的存储区是半径介于 与 之间的环形 区域． （1） 是不是 越小，磁盘的存储量越大？ （2） 为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信 息）？ 解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。 设存储区的半径介于 与 R 之间，由于磁道之间的宽度必需大于 ，且最外 面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达 。由于每条磁道上的比特数 相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达 。所以，磁盘总存储量 × （1）它是一个关于 的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是 越小， 磁盘的存储量越大． （2）为求 的最大值，计算 ． 令 ，解得 当 时， ；当 时， ． 因此 时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为 提高提高问 题的综合性， 锻炼学生能 力。 3r = ( )3 0f = 3r > ( )0 , 2r ∈ ( ) 0f r′ < ( )f r 2 m n R r R r r r m R r m − 2 r n π ( )f r = R r m − 2 r n π 2 ( )r R rmn π= − r r ( )f r ( ) 0f r′ = ( )2( ) 2f r R rmn π′ = − ( ) 0f r′ = 2 Rr = 2 Rr < ( ) 0f r′ > 2 Rr > ( ) 0f r′ < 2 Rr = 22 4 R mn π(6)课堂 小结 1、 建立数学模型（确立目标函数）是解决应用性性问题的关键 2、 要注意不能漏掉函数的定义域 3、 注意解题步骤的规范性 (7)作业布置:教科书 P104 A 组 1,2,3。 (8 备用题目： 1、要做一个圆锥形漏斗，其母线长为 ，要使其体积最大，则其高为 （ A ） A B C D 2、设正四棱柱体积为 V，那么其表面积最小时，底面边长为 （ A ） A B C D 3、设 8 分成两个数，使其平方和最小，则这两个数为 4 。 4、用长度为的铁丝围成长方形，则围成的最大面积是 4 。 5、某厂生产产品固定成本为 500 元，每生产一单位产品增加成本 10 元。已知需求函数为： ，问：产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？ 解：先求出利润函数的表达式： 再求导函数： 求得极值点：q ＝ 80。只有一个极值点，就是最值点。 故得：q ＝ 80 时，利润最大。最大利润是： 注意：还可以计算出此时的价格：p ＝ 30 元。 6、用长为 90cm，宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器.先在四角分别截去一个小正方形.然 后把四边翻转 90 度角，再焊接而成（如图）.问容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积 是多少？ 解：设容器高为 xcm，容器的体积为 V(x)，则 20cm 20 3 3 cm 100cm 20cm 20 3 cm 3 V 3 2V 3 4V 32 V 200 4q p= − ( ) ( ) ( ) (500 10 )L q R q C q pq q= − = − + 2200 1500 10 40 5004 4 q q q q q −= − − = − + − 1( ) 402L q q′ = − + 21(80) 80 40 80 500 11004L = − × + × − = 48 48 2x− 90 2x− 48 2x− x x ( ) (90 2 )(48 2 )V x x x x= − − 3 24 276 4320x x x= − +令 令 48 2 0,90 2 0, 0x x x− > − > > 0 24x∴ < < 2( ) ( ) 12 552 4320V x V x x x′ = − +求 导数得 12( 10)( 36)x x= − − 1 2( ) 0 10, 36( )V x x x′ = = =解得 舍 (0,10) , '( ) 0, ( )x V x V x∈ >当 时 那么 为增函数 (10,24) , '( ) 0, ( )x V x V x∈