数学归纳法1(选修2-2).doc

§2.3 数 学 归 纳 法 (1) 【 学 情 分 析 】 ： 数 学 归 纳 法 是 一 种 特 殊 的 直 接 证 明 的 方 法 ， 在 证 明 一 些 与 正 整 数 n（ n 取 无 限 多 个 值 ）有 关 的 数 学 命 题 时 ， 数 学 归 纳 法 往 往 是 非 常 有 用 的 研 究 工 具 ， 它 通 过 有 限 个 步 骤 的 推 理 ， 证 明 n 取 无 限 多 个 正 整 数 的 情 形 。 【 教 学 目 标 】 ： （ 1） 知 识 与 技 能 ： 理 解 “ 归 纳 法 ” 和 “ 数 学 归 纳 法 ” 的 含 意 和 本 质 ； 掌 握 数 学 归 纳 法 证 题 的 两 个 步 骤 一 个 结 论 ； 会 用 “ 数 学 归 纳 法 ” 证 明 与 正 整 数 有 关 的 数 学 命 题 。 （ 2） 过 程 与 方 法 ： 初 步 掌 握 归 纳 与 推 理 的 方 法 ； 培 养 大 胆 猜 想 ， 小 心 求 证 的 辩 证 思 维 素 质 。 （ 3） 情 感 态 度 与 价 值 观 ： 培 养 学 生 对 于 数 学 内 在 美 的 感 悟 能 力 。 【 教 学 重 点 】 ： 借 助 具 体 实 例 了 解 数 学 归 纳 法 的 基 本 思 想 ，掌握 它 的 基 本 步 骤 (特 别 要 注 意 递 推 步 骤 中 归 纳 假 设 的 运 用 和 恒 等 变 换 的 运 用 )， 运 用 它 证 明 一 些 与 正 整 数 有 关 的 数 学 命 题 。 【 教 学 难 点 】 ： 如 何 理 解 数 学 归 纳 法 证 题 的 有 效 性 ； 递 推 步 骤 中 如 何 利 用 归 纳 假 设 。 【 教 学 过 程 设 计 】 ： 教学环节 教学活动 设计意图 一、 提出 问题 1. 问 题 1： 盒 子 里 有 八 个 乒 乓 球 ， 如 何 证 明 里 面 的 球 全 为 白 色 ？ 以 试 验 的 方 式 ， 从 盒 子 中 先 取 5 次 球 ， 观 察 颜 色 并 猜 想 其 余 球 的 颜 色 ， 判 断 猜 想 是 否 正 确 （ 完 全 归 纳 法 ） ？ 2.考 察 部 分 对 象 ， 得 到 一 般 结 论 的 方 法 ， 叫 做 不 完 全 归 纳 法 。 不 完 全 归 纳 法 得 到 的 结 论 不 一 定 正 确 。 考 察 全 部 对 象 ， 得 到 一 般 结 论 的 方 法 ， 叫 做 完 全 归 纳 法 。 完 全 归 纳 法 得 到 的 结 论 一 定 正 确 。 3. 举 2 个 小 例 子 说 明 不 完 全 归 纳 法 不 一 定 正 确 。 小 明 的 爸 爸 有 3 个 儿 子 ， 老 大 说 ： “ 我 叫 1 毛 ”，老 二 说：“ 我 叫 2 毛 ”，老 三 说 — ——— ？ （ 我 声 明 ， 我 不 叫 3 毛 ， 我 叫 小 明 ）。 因 为 矩 形 与 正 方 形 的 对 角 线 都 相 等 且 互 相 平 分 ， 所 以 说 所 有 四 边 形 的 对 角 线 都 相 等 且 互 相 平 分 。 4. 问 题 2： 请 大 家 回 忆 ， 课 本 是 如 何 得 出 等 差 数 列 的 通 项 公 式 的 ？ （ 板 书 ） 归 纳 出 的 结 论 — — 正 确 。 5. 问 题 3 ： 对 于 数 列 {an} ， 已 知 （ n=1,2, … … ），求 出 ， 我 们 猜 想 其 通 项 公 式 为 。 这 个 结 论 正 确 吗 ？ 生 ： 讨 论 、 交 流 。 6.提 出 问 题 ： 很 多 时 候 用 完 全 归 纳 法 证 明 结 论 是 否 正 确 是 不 合 适 的 ， 我 们 借 助 不 完 全 归 纳 法 去 发 现 或 猜 想 结 论 ， 那 么 如 何 解 决 不 完 全 归 纳 法 存 在 的 问 题 呢 ？ （ 只 有 经 过 严 格 的 证 明 ， 不 完 全 归 纳 得 出 的 结 论 才 是 正 确 的 。） 通 过 实 际 例 子 了 解 不 完 全 归 纳 法 与 完 全 归 纳 法 的 概 念 复 习 回 顾 提 出 问 题 ，引发 思 考 通 过 一 系 列 的 问 题 引 出 新 课 n n n a aaa +== + 1,1 11 432 ,, aaa nan 1=二 、 数 学 归 纳 法 原 理 1. 由 多 米 诺 骨 牌 引 入 数 学 归 纳 法 [投 影 ]多 米 诺 骨 牌 游 戏 提 出 两 个 问 题 ： 若 第 一 块 不 倒 ， 出 现 什 么 情 况 ？ 若 中 间 某 块 倒 下 ， 不 能 使 其 下 一 块 倒 下 ， 出 现 什 么 情 况 ？ 所 以 多 米 诺 骨 牌 游 戏 能 进 行 下 去 要 满 足 两 个 条 件 。 （ 1） 第 一 块 骨 牌 倒 下 ； （ 2） 任 意 相 邻 的 两 块 骨 牌 ， 前 一 块 倒 下 一 定 导 致 后 一 块 倒 下 。 2 ． 参 照 多 米 诺 骨 牌 的 原 理 ， 我 们 设 想 ： 在 证 明 某 些 与 正 整 数 有 关 问 题 时 ， 先 证 明 当 n 取 第 一 个 值 n0( 例 如 n0 =1 或 2)时 ， 命 题 成 立 （ 即 骨 牌 的 第 一 块 能 倒 ），然 后 假 设 只 要 由 n=k ( k∈ N* ， k≥ n 0 )时 命 题 成 立 ， 就 能 推 出 n=k+1 时 命 题 也 成 立 （ 即 只 要 某 一 块 倒 下 ， 就 能 使 其 下 一 块 也 倒 下 ），那 么 就 证 明 这 个 命 题 成 立（ 所 有 骨 牌 都 能 倒 下 ）。我 们 称 这 种 证 明 方 法 叫 做 数 学 归 纳 法 。（严 谨 ， 一 而 二 ， 二 而 三 ， … … 以 至 无 穷 ） 数 学 归 纳 法 的 适 用 范 围 、 原 理 电 脑 多 媒 体 课 件 能 够 强 化 对 学 生 感 观 的 刺 激 ，它创 设 生 动 、形 象 、直 观 的 教 学 情 景 ，可 以 极 大 提 高 学 生 的 学 习 兴 趣 ，加大 一 节 课 的 信 息 容 量 ，帮助 学 生 理 解 和 掌 握 知 识 三 、 应 用 给 出 问 题 3 的 数 学 归 纳 法 的 证 明 ， 将 每 一 步 骤 标 号 。 引 导 学 生 总 结 出 数 学 归 纳 法 的 证 题 思 路 和 步 骤 。 数 列 {an}中 ， 已 知 （ n=1,2,… … ），则 猜 想 其 通 项 公 式 为 。 证 明 ： （ 1） 当 n=1 时 ， 猜 想 式 成 立 （ 2） 假 设 当 n=k 时 猜 想 成 立 ， 即 ， 那 么 当 n=k+1 时 ， 根 据 已 知 及 假 设 ， 所 以 即 当 n=k+1 时 猜 想 也 成 立 。 由 （ 1）（ 2） 可 以 断 定 ， 等 式 对 一 切 n∈ N*都 成 立 强 调 :要 用 到 归 纳 假 设 ； 列 出 证 明 n=k+1 成 立 时 的 目 标 通 过 此 例 引 导 学 生 总 结 数 学 归 纳 法 的 证 题 步 骤 。 详 细 的 板 书 推 导 利 于 学 生 总 结 归 纳 出 数 学 归 纳 法 的 证 题 步 骤 及 更 进 一 步 地 理 解 原 理 四 、 归 纳 明 确 数 学 归 纳 法 的“ 起 动 步 骤 ”和“ 递 推 步 骤 ”这“ 两 个 步 骤 ” 以 及 “ 一 个 结 论 ”。 用 数 学 归 纳 法 证 明 命 题 的 具 体 步 骤 是 ： (1)（ 归 纳 奠 基 ） 证 明 当 n 取 第 一 值 n 0 (例 如 n 0=1， n0=2 等 )时 命 题 成 立 ； (2)（ 归 纳 递 推 ） 假 设 n=k(k∈ N* 且 k≥ n 0)时 命 题 成 立 ， 证 明 当 n=k+1 时 命 题 也 成 立 。 在 完 成 了 这 两 个 步 骤 以 后 ，就 可 以 断 定 命 题 对 从 n0 开 始 的 所 有 的 自 然 数 n 都 正 确 。 强 调 ： （ 1）上 面 的 证 明 第 一 步 是 递 推 基 础 ，第 二 步 是 递 推 的 依 据 ， 两 者 缺 一 不 可 。 （ 2） 第 一 步 要 证 明 ， n=k+1 时 也 要 证 明 ， 且 过 程 中 一 定 要 用 到 假 设 。 阅 读 课 本 ： P93 倒 数 第 5 行 至 P94 例 1 上 方 。 培 养 学 生 的 归 纳 能 力 培 养 阅 读 习 惯 n n n a aaa +== + 1,1 11 nan 1= ,11 =a kak 1= k k k a aa +=+ 11 kak 1= 1 1 11 1 11 += + =+=+ k k k a aa k k k五 、 应 用 例 1 用 数 学 归 纳 法 证 明 板 书 解 答 过 程 ，注 意 解 题 规 范 ，严 防 出 现“ 依 次 类 推 ” 式 的 不 完 全 归 纳 法 ； 强 调 n=k 成 立 必 须 应 用 在 证 明 n=k+1 成 立 的 过 程 中 ， 不 可 应 用 等 差 数 列 求 和 公 式 证 明 n=k+1 成 立 。 证 明 ： （ 1） 当 n=1 时 ， 左 式 =1， 右 式 =1 2， 等 式 成 立 。 （ 2） 假 设 当 n=k 时 ， 等 式 成 立 即 成 立 则 当 n=k+1 时 所 以 当 n=k+1 时 等 式 也 成 立 综 合 （ 1）（ 2） 知 ， 等 式 对 于 任 意 n∈ N*都 成 立 。 演 示 此 求 证 式 的 含 义 保 证 学 生 及 时 地 在 充 分 理 解 的 基 础 上 掌 握 数 学 归 纳 法 的 解 题 方 法 及 步 骤 六 、 练 习 巩 固 P95. 练 习 1. 实 物 投 影 学 生 解 答 过 程 ， 及 时 点 评 。 （ 学 生 板 演 练 习 ） 通 过 讲 评 可 以 及 时 发 现 学 生 解 题 中 存 在 的 问 题 ， 予 以 更 正 。 七 、 知 识 小 结 适 用 ： 与 正 整 数 有 关 的 命 题 重 点 ： 两 个 步 骤 、 一 个 结 论 ； 注 意 ： 递 推 基 础 不 可 少 ， 　　　 归 纳 假 设 要 用 到 ， 　　　 结 论 写 明 莫 忘 掉 通 过 小 结 总 结 所 学 ，突 出 重 点 ，强 调 难 点 十 、 课 后 作 业 1. P96 习 题 2.3 A 组 1（ 2） 2. P96 习 题 2.3 B 组 1 通 过 作 业 反 馈 ，了 解 对 所 学 知 识 掌 握 的 效 果 ，以利 课 后 解 决 学 生 尚 有 疑 难 的 地 方 十 一 、 设 计 反 思 本 节 课 让 学 生 对 数 学 归 纳 法 的 原 理 及 证 题 步 骤 有 一 个 初 步 的 认 识 ， 所 选 例 题 及 练 习 均 是 较 基 础 和 简 单 的 。 在 教 学 过 程 中 要 强 调 ： 用 数 学 归 纳 法 证 明 命 题 时 ， 难 在 第 二 步 。 即 在 假 设 n=k 命 题 成 立 时 ， 推 出 n=k+1 时 命 题 也 成 立 。 要 顺 利 地 完 成 这 一 步 ， 主 要 依 赖 于 观 察 、 归 纳 、 恒 等 变 形 等 方 面 的 能 力 。 在 推 导 证 明 中 必 须 运 用 到 “ 归 纳 假 设 ”，否 则 不 是 数 学 归 纳 法 。 【 练习与测试】 ： 2)12(531 nn =−++++  2)12(531 kk =−++++  2 2 1)(k )12( ]1)1(2[)]12(531[ += ++= −++−++++= kk kk左式1．在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证（ ） A. n=1 时成立 B. n=2 时成立 C. n=3 时成立 D. n=4 时成立 答案：C 解：由于多边形最少是三角形，故选 C。 2. 某个与正整数 n 有关的命题，如果当 时该命题成立，则一定可推得当 n=k+1 时该命题也 成立。现已知 n=5 时，该命题不成立，那么应有（ ） A. 当 n=4 时，该命题成立 B. 当 n=6 时，该命题成立 C. 当 n=4 时，该命题不成立 D. 当 n=6 时，该命题不成立 答案：C 解：n=6 时命题成立与否不能确定，排除 B、D；假设 n=4 时，该命题成立，由已知得 n=5 时该命题成立， 与已知条件矛盾，故选 C。 3 ． 用 数 学 归 纳 法 证 明 ： ， 在 验 证 n=1 时 ， 左 端 计 算 所 得 的 项 为 _______________________________。 答案：1+a+a2 解：由题意可知等式左端共有 n+2 项，∴当 n=1 时，左端有 3 项为 1+a+a2。 4. 数 列 {a n}中 ， 已 知 （ n=1,2,… … ），计 算 ， 猜 想 的 表 达 式 并 用 数 学 归 纳 法 证 明 。 解 ： 猜 想 ： 证 明 ： （ 1） 当 n=1 时 ， 猜 想 式 成 立 （ 2） 假 设 当 n=k 时 猜 想 成 立 ， 即 ， 那 么 当 n=k+1 时 ， 根 据 已 知 及 假 设 ， 所 以 即 当 n=k+1 时 猜 想 也 成 立 。 由 （ 1）（ 2） 可 以 断 定 ， 等 式 对 一 切 n∈ N*都 成 立 5．用数学归纳法证明：n 边形的内角和为 证明：（1）当 n=3 时，三角形内角和为 ， 满 足 。 （ 2） 假 设 当 n=k 时 ， 命 题 成 立 ， 即 k 边 形 的 内 角 和 为 则 当 n=k+1 时 ， 相 当 于 多 出 了 一 个 三 角 形 ， 内 角 增 加 了 ， 所 以 k+1 边 形 的 内 角 和 为 即当 n=k+1 时，命题成立 。 综合（1）（2），命题对于任意 成立。 *( )n k k N= ∈ 2 2 1 11 ( 1)1 n n aa a a aa + + −+ + + + = ≠− n n n a aaa +== + 1,2 11 432 ,, aaa na 7 2 5 21 5 2 ,5 2 3 21 3 2 ,3 2 432 = + == + == aaa 12 2 −= nan ,212 2 1 =−=a 12 2 −= kak k k k a aa +=+ 11 12 2 −= kak 1)1(2 2 12 2 12 21 12 2 11 −+=+= −+ −=+=+ kk k k a aa k k k ( 2) 180n − ⋅ ° 180° (3 2) 180− ⋅ ° ( 2) 180k − ⋅ ° 180° °⋅−+=°+°⋅− 180]2)1[(180180)2( kk Nnn ∈≥ ,36. 若 n 为正整数，求证：n3+5n 能被整除。 证明：（1）当 n=1 时，命题显然成立； （2）假设当 n=k 时，命题成立，则 k3+5k 能被 6 整除 则当 n=k+1 时，（k+1）3+5(k+1)= k3+3k2+3k+1+5k+5=(k3+5k)+3k(k+1)+6 由假设知 k3+5k 能被 6 整除，而 k(k+1)是 2 的倍数，即 3k(k+1)为 6 的倍数， 第三项 6 也能被 6 整除，因此，(k3+5k)+3k(k+1)+6 能被 6 整除。 综合(1)(2)知，原命题成立。