数学归纳法2(选修2-2).doc

§2.3 数 学 归 纳 法 (2) 【 学 情 分 析 】 ： 数 学 归 纳 法 是 一 种 特 殊 的 直 接 证 明 的 方 法 ， 在 证 明 一 些 与 正 整 数 n（ n 取 无 限 多 个 值 ）有 关 的 数 学 命 题 时 ， 数 学 归 纳 法 往 往 是 非 常 有 用 的 研 究 工 具 ， 它 通 过 有 限 个 步 骤 的 推 理 ，证 明 n 取 无 限 多 个 正 整 数 的 情 形 。本 节 课 是 在 上 节 课 的 基 础 上 进 上 步 熟 悉 数 学 归 纳 法 的 证 题 原 理 及 步 骤 。 【 教 学 目 标 】 ： （ 1） 知 识 与 技 能 ： 理 解 “ 归 纳 法 ” 和 “ 数 学 归 纳 法 ” 的 含 意 和 本 质 ； 掌 握 数 学 归 纳 法 证 题 的 两 个 步 骤 一 个 结 论 ； 会 用 “ 数 学 归 纳 法 ” 证 明 与 正 整 数 有 关 的 数 学 命 题 。 （ 2） 过 程 与 方 法 ： 初 步 掌 握 归 纳 与 推 理 的 方 法 ； 培 养 大 胆 猜 想 ， 小 心 求 证 的 辩 证 思 维 素 质 。 （ 3） 情 感 态 度 与 价 值 观 ： 培 养 学 生 对 于 数 学 内 在 美 的 感 悟 能 力 。 【 教 学 重 点 】 ： 进 一 步 巩 固 对 数 学 归 纳 法 的 基 本 思 想 的 认 识 ，掌握 它 的 基 本 步 骤 (特 别 要 注 意 递 推 步 骤 中 归 纳 假 设 的 运 用 和 恒 等 变 换 的 运 用 )， 运 用 它 证 明 一 些 与 正 整 数 有 关 的 数 学 命 题 。 【 教 学 难 点 】 ： 如 何 理 解 数 学 归 纳 法 证 题 的 有 效 性 ； 递 推 步 骤 中 如 何 利 用 归 纳 假 设 。 【 教 学 过 程 设 计 】 ： 教学环 节 教学活动 设计意图 一、 复习 回顾 数 学 归 纳 法 的 主 要 步 骤 及 其 适 用 范 围 (1)（ 归 纳 奠 基 ） 证 明 当 n 取 第 一 值 n 0 (例 如 n 0=1， n 0=2 等 ) 时 命 题 成 立 ； (2)（ 归 纳 递 推 ） 假 设 n=k(k∈ N* 且 k≥ n 0)时 命 题 成 立 ， 证 明 当 n=k+1 时 命 题 也 成 立 。 那那么，对 n≥n0 的一切自然数 n 命题都成立。 数 学 归 纳 法 多 用 于 证 与 正 整 数 有 关 的 数 学 问 题 。 二 、 应 用 1. 例 2 用 数 学 归 纳 法 证 明 证 明 ： （ 1） 当 n=1 时 ， 左 边 =1, 右 边 = ， 所 以 等 式 成 立 。 （ 2） 假 设 当 n=k 时 等 式 成 立 ， 即 那 么 ， 当 n=k+1 时 ， 即 当 n=k+1 时 等 式 也 成 立 。 综 合 (1)(2)可 知 ， 等 式 对 任 何 都 成 立 。 2. 例 3 详 细 板 书 证 明 过 程 强 调 ： 在 证 明 n=k+1 时 一 定 要 用 到 假 设 ，整 理 过 程 中 如 何 减 少 运 算 量 ，将 待 证 目 标 式 摆 到 草 稿 纸 上 ，对 应 目 标 化 简 整 理 。 进 一 步 巩 固 数 )(6 )12)(1(21 *222 Nnnnnn ∈++=+++  16 )112)(11(1 =+×+× 6 )12)(1(21 222 ++=+++ kkkk 6 ]1)1(2][1)1)[(1( 6 )32)(2)(1( 6 )672)(1( 6 )1(6)12)(1( )1(6 )12)(1()1(21 22 22222 +++++= +++= +++=++++= ++++=+++++ kkk kkk kkkkkkk kkkkkk *Nn∈ 已 知 数 列 ， 计 算 S1， S2， S3， S4， 根 据 计 算 结 果 ， 猜 想 Sn 的 表 达 式 ， 并 用 数 学 归 纳 法 进 行 证 明 。 解 ： ； 猜 想 ： 证 明 ： （ 1） 当 n=1 时 ， 左 边 = 右 边 = ， 猜 想 成 立 。 （ 2） 假 设 当 n=k 时 猜 想 成 立 ， 即 那 么 ， 所 以 ， 当 n=k+1 时 猜 想 也 成 立 。 综 合 (1)(2)知 ， 猜 想 对 任 何 都 成 立 。 学 归 纳 法 的 证 题 步 骤 及 思 路 。 三 、 练 习 巩 固 P91. 练 习 2. 四 、 知 识 小 结 1. 适 用 ： 与 正 整 数 有 关 的 命 题 重 点 ： 两 个 步 骤 、 一 个 结 论 ； 注 意 ： 递 推 基 础 不 可 少 ， 　　　 归 纳 假 设 要 用 到 ， 　　　 结 论 写 明 莫 忘 掉 2.数 学 归 纳 法 两 个 步 骤 是 一 个 统 一 的 整 体 ， 缺 一 不 可 ， 注 意 在 第 二 步 中 将 归 纳 假 设 当 做 已 知 条 件 使 用 ， 而 且 必 须 运 用 到 “ 归 纳 假 设 ”，否 则 就 不 是 数 学 归 纳 法 。 3.数 学 归 纳 法 用 步 骤 （ 1） 和 （ 2） 的 证 明 代 替 了 无 穷 多 个 命 题 的 证 明 ， 这 里 体 现 了 有 穷 和 无 穷 的 辩 证 关 系 。 通 过 小 结 总 结 所 学 ，突出 重 点 ， 强 调 难 点 五 、 课 后 作 业 1. P91 习 题 2.3 A 组 2 2. P91 习 题 2.3 B 组 2.3. 通 过 作 业 反 馈 ， 了 解 对 所 学 知 识 掌 握 的 效 果 ， 以 利 课 后 解 决 学 生 尚 有 疑 难  ,)13)(23( 1,,107 1,74 1,41 1 +−××× nn 7 2 74 1 4 1;4 1 41 1 21 =×+==×= SS 13 4 1310 1 10 3;10 3 107 1 7 2 43 =×+==×+= SS 13 += n nSn 4 1 1 =S 4 1 113 1 =+× 13)13)(23( 1 107 1 74 1 41 1 +=+−++×+×+× k k kk ]1)1(3][2)1(3[ 1 )13)(23( 1 107 1 74 1 41 1 ++−++ +−++×+×+× kk kk 1)1(3 1 )43)(13( )1)(13( )43)(13( 143 )43)(13( 1 13 2 ++ += ++ ++=++ ++= ++++= k k kk kk kk kk kkk k *Nn∈之 处 六 、 设 计 反 思 数 学 归 纳 法 的 步 骤 非 常 清 晰 ， 但 学 生 在 应 用 的 过 程 中 容 易 出 现 如 下 问 题 ： 如 何 由 n=k 时 成 立 的 归 纳 假 设 去 推 得 n=k+1 时 结 论 依 然 成 立 ， 要 通 过 仔 细 观 察 与 分 析 前 后 原 式 发 生 的 变 化 ， 不 能 轻 易 下 结 论 ； 归 纳 假 设 是 数 学 归 纳 法 解 题 成 功 与 否 的 关 键 ， 一 定 要 利 用 上 ； 为 充 分 利 用 归 纳 假 设 ， 往 往 要 利 用 “ 拆 ”、“ 添 ” 项 的 方 法 “ 凑 ” 出 归 纳 假 设 中 成 立 的 因 子 。 在 教 学 过 程 中 应 给 以 强 调 。 【 练习与测试】 ： 1． 使 用 数 学 归 纳 法 证 明 ， 若 不 等 式 成 立 ， 则 n 的 取 值 范 围 是 （ ） A. B. C. D. 答 案 ： D 解 ： 当 n 取 第 一 个 值 5 时 ， 命 题 成 立 。 2．用数学归纳法证明“ ”，要 证 明 第 一 步 时 ， 左 边 的 式 子 = 。 答 案 ： 。 3．当 时 ， 求 证 ： 。 证 明 ： （ 1） 当 n=1 时 ， 左 式 = ， 右 式 =1， ， 原 不 等 式 成 立 。 （ 2） 假 设 当 n=k 时 ， 原 不 等 式 成 立 ， 即 则 当 n=k+1 时 ， 左 式 = 所以 n=k+1 时结论成立 综合（1）（2）原不等式对于任意 均 成 立 。 4. 用数学归纳法证明：“ 成 立 ，（ ）”，第 二 步 从 n=k 到 n=k+1 时 ， 左 式 有 什 么 变 化 ？ 答 案 ： 左 端 增 加 了 两 项 （ 2k+1）、（ 2k+2），还 少 了 一 项 （ k+1）。 解 ： 当 n=k 时 ， 左 式 = 5．已知 f(x)是定义在（-∞，+∞）上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意 x,y,f(x)都满足 2 2 ( )nn n N< ∈ 2n ≥ 3n ≥ 4n ≥ 5n ≥ *)(113 1 2 1 1 1 Nnnnn ∈>++++++  12 13 4 1 3 1 2 1 =++ *Nn∈ 3( )2 n n> 3 2 3 12 > 3( )2 k k> 13 3 3 3( ) ( )2 2 2 2 2 k k kk k+ = > = + 132, 1, ( ) 12 kk k k+≥ ∴ ≥ + > + 上式 即 *Nn∈ )12(5312)()2)(1( −⋅⋅⋅⋅⋅=+++ nnnnn n  *Nn∈ )()3)(2)(1( kkkkk ++++  2)1)(2kk)(2k(k3)2)(k(k )11)(1)(11()21)(11(,1 +++++= +++++−++++++=+=   kkkkkkkkkn 左式时当。（1）求 的值；（2）判断 f(x)的奇偶性，并说明理由；（3）证明： 。 解：（1）∵f(x)对任意 x,y,f(x)都有 ∴ （2）∵f(x)对任意 x,y,f(x)都有 ∴ 将 f(-1)=0 代入得 f(-t)=-f(t) ∴函数 f(x)是（-∞，+∞）上的歌奇函数。 证明：（3）用数学归纳法： ① 当 n=1 时，左边=f(a1)=f(a)，右边= ，等式成立。 ② 假设当 n=k 时，等式成立，即 ，则当 n=k+1 时，有 这表明当 n=k+1 时等式也成立。 综合①②可知，对任意正整数，等式 成立。 6. 是否存在实数 a,b,c,使得等式 对任何正整数 n 都成立，并证明你的结论。 解：假设存在 a,b,c 使题设的等式成立，这时令 n=1,2,3,有 故 于是，对 n=1,2,3,下面等式成立， 。（*） 下面证明上式对任何正整数 n 都成立 证明：（1）当 n=1 时，左式 ，左式=右式，所以（*）式成立。 （2）假设 n=k 时（*）式成立，即有 那么，当 n=k+1 时， 也就是说，（*）式对 n=k+1 也成立。 综合(1)(2)，当 a=3,b=11,c=10 时，题设对一切自然数 n 均成立。 ( ) ( ) ( )f x y y f x x f y= +   (1), ( 1)f f − 1 *( ) ( ).( , )n nf a na f a n N a−= ∈ 为不为零的常数 ( ) ( ) ( )f x y y f x x f y= +   1, (11) 1 (1) 1 (1), (1)=0x y f f f f= = = + ∴  令 有 1, [( 1) ( 1)] ( 1) ( 1) ( 1) ( 1), (-1)=0x y f f f f= = − − − = − − + − − ∴  令 有 ( ) ( ) ( )f x y y f x x f y= +   , 1, ( ) ( ) ( 1),x t y f t f t t f= = − − = − + −令 有 1 11 ( ) ( )a f a f a− = 1( ) ( )k kf a ka f a−= 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( )k k k k k k kf a f a a a f a a f a a f a a k a f a k a f a+ −= = + = + = +    1( ) ( )n nf a na f a−= )(12 )1()1(3221 2222 cbnannnnn +++=+++×+×          ++= ++= ++= cba cba cba 3970 )24(2 122 )(6 14    = = = 10 11 3 c b a )10113(12 )1()1(3221 2222 +++=+++×+× nnnnnn 4)10113(12 2,421 2 =++==× 右式 )10113(12 )1()1(3221 2222 +++=+++×+× kkkkkk ]10)1(11)1(3[12 )2)(1( )241253(12 )2)(1( )2)(1()53)(2(12 )1( )2)(1()10113(12 )1( )2)(1(])1(3221[ 2 2 2 22 2222 ++++++= +++++= ++++++= ++++++= ++++++×+×= kkkk kkkkk kkkkkk kkkkkk kkkk左式