选修2-2《1.1.1 平均变化率》.doc

教学目标： 1． 通过对一些实例的直观感知，构建平均变化率的概念，并初步运用和加 深理解利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢的原理； 2． 通过从实际生活背景中构建数学模型来引入平均变化率，领会以直代曲 和数形结合的思想，培养学生的抽象思维与归纳综合的能力，提升学生的数学思 维与数学素养； 3． 培养学生关注身边的数学，并能从数学的视角来分析问题、解决问题， 体验数学发展的历程，感受数形统一的辨证思想． 教学重点： 会利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢． 教学难点： 对平均变化率概念的本质的理解；对生活现象作出数学解释． 教学过程： 一、问题情境 1．问题情境． 法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治了赛场．这名 21 岁的 中国人跑的几乎比炮弹还快．赛道上显示的 12.94 秒的成绩已经打破了 12.95 秒 的奥运会纪录，但经过验证他是以 12.91 秒的成绩追平了世界纪录，他的平均速 度达到了 8.52m/s． 某人走路的第 1 秒到第 34 秒的位移时间图象如图所示：观察图象，回答问题： 问题 1　从 A 到 B 的位移是多少？从 B 到 C 的位移是多少？ 问题 2　从 A 到 B 这一段与从 B 到 C 这一段，你感觉哪一段的位移变化得较 快？ 2．学生活动． 案例中，从 B 到 C 位移“陡增”，这是我们从图像中的直观感觉，那么如何量 化陡峭程度呢？ （1）由点 B 上升到 C 点必须考察 的大小，但仅注意到 的大小 能否精确量化 BC 段陡峭 的程度？为什么？ （2）还必须考察什么量？在考察 的同时必须考察 ． （3）曲线上 BC 之间一段几乎成了直线，由此联想到如何量化直线的倾斜程 度？ 二、建构数学 （1）一般地，函数 在区间 上的平均变化率为 注意：平均变化率不能脱离区间而言 （2）平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化 率的“视觉化”． 思考： （1） 若设 ，即将 看作是对于 的一个增量 ， 则 在 平均变化率为 C By y－ C By y－ C By y－ C Bx x－ ( )f x [ ]1 2x x， ( ) ( )2 1 2 1 f x f x x x － － 2 1 ∆x x x＝ － x∆ 1x 2 1( ) ( )∆y f x f x＝ － )(xf [ ]1 2x x， 2 1 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( )∆∆ ∆ ∆ f x f x f x x f xy x x x x － ＋ －＝ ＝－（2） 在 平均变化率的几何意义即为区间两端点连线所在直线的 斜率． 三、数学运用 例 1　某婴儿从出生到第 12 个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到 第 3 个月以及第 6 个月到第 12 个月该婴儿体重的平均变化率． 问题（1）　如何解释例 1 中从出生到第 3 个月，婴儿体重平均变化率为 1 （ 月）？ 问题（2）　本题中两个不同平均变化率的实际意义是什么？ 讲评　在不同的区间上平均变化率可能不同． 例 2　水经过虹吸管从容器甲流向容器乙， s 后容器甲中的水的体积 （单位：cm3），试计算第一个 10s 内 的平均变化率． 问题（1）　例 2 中解出的平均变化率实际意义是什么？ 问题（2）　 （cm3/s）是否表示 10 秒内每一时刻容器甲中水的体积 减少的速度？ 问题（3）　第一个 10 秒内，甲容器中水的体积的平均变化率为 （cm3/s），那么乙容器中的水的体积的平均变化率呢？ )(xf [ ]1 2x x， 63 9 12 3.5 6.5 8.6 11 kg / t 0.1( ) 5 2 tV t －＝ × V 甲甲 乙乙 25.0− V 25.0− t/月 W/kg讲评：平均变化率可能正可能负也可能为零． 例 3　已知函数 ，分别计算在区间 ， 上函数 及 的平均变化率． 问题（1）　你在解本题的过程中有没有发现什么？ 讲评　一次函数 在区间 上的平均变化率等于它的斜率 ． 例 4　已知函数 ，分别计算在下列区间上的平均变化率： ① ⑤ ② ⑥ ③ ⑦ ④ ⑧ 问题（4）　例 4 中八个区间的变化导致平均变化率有怎样的变化？这种变化 的实际意义和数学意义分别是什么？ 四、当堂训练 练习 1　回答问题情境中提出的问题：平均速度的数学意义是什么？ 练习 2　在寓言龟兔赛跑中，从比赛开始到结束的这一段时间(规定有一方到 达终点则比赛结束)，是乌龟的位移平均变化率大还是兔子的位移平均变化率大？ 为什么？ 练习 3　下图中白线是一天内某个股票的走势图，试从平均变化率的角度分析 这支股票在下列时间段的涨跌情况． ①09:30 至 11:00 ②11:00 至 11:30 ③14:00 至 14:07 ④14:07 至 15:00 ( ) 2 1 ( ) 2f x x g x x＝ ＋ ， ＝－ [ 3 1]－ ，－ [0 5]， )(xf )(xg y kx b＝ ＋ [ ]m n， k 2( )f x x＝ 五、回顾反思 （1）一般地，函数 在区间 上的平均变化率为 ． （2）平均变化率近似的刻画了曲线在某区间上的变化趋势，那么，如何精确 的刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？ 六、布置作业 1．预习第 1.1.2 节瞬时变化率——导数． 2．课本 P7 练习 2；P16 习题 1.1 第 1 题． 3．下图中记载着刘翔在雅典奥运会 110 米栏中的比赛数据，试通过计算各个 阶段刘翔位移的平均变化率． ( )f x [ ]1 2x x， ( ) ( )2 1 2 1 f x f x x x － －2.421s 0.959s 1.004s0.994s 0.981s1.021s0.962s0.999s 1.507s1.038s1.024s 50.28m 59.72m 6.362s 6.548s 9.14m 9.14m13.72m 14.02m 32.00m 4.379s 45.70m 4.962s 32.30m 3.569s