选修2-2《1.1.2 瞬时变化率——导数（1）》.doc

教学目标： 1．理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念； 2．理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法； 3．理解切线概念实际背景，培养学生解决实际问题的能力和培养学生转化 问题的能力及数形结合思想． 教学重点： 理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法． 教学难点： 用“无限逼近”、“局部以直代曲”的思想理解某一点处切线的斜率． 教学过程： 一、问题情境 1．问题情境． 如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？ 如果将点 P 附近的曲线放大，那么就会发现，曲线在点 P 附近看上去有点像 是直线． 如果将点 P 附近的曲线再放大，那么就会发现，曲线在点 P 附近看上去几乎成了 直线．事实上，如果继续放大，那么曲线在点 P 附近将逼近一条确定的直线 ，该 直线 是经过点 P 的所有直线中最逼近曲线的一条直线． 因此，在点 P 附近我们可以用这条直线 来代替曲线，也就是说，点 P 附近， 曲线可以看出直线（即在很小的范围内以直代曲）． 2．探究活动． l l l如图所示，直线 l1，l2 为经过曲线上一点 P 的两条直线， （1） 试判断哪一条直线在点 P 附近更加逼近曲线； （2） 在点 P 附近能作出一条比 l1，l2 更加逼近曲线的直线 l3 吗？ （3） 在点 P 附近能作出一条比 l1，l2，l3 更加逼近曲线的直线吗？ 二、建构数学 切线定义: 如图，设 Q 为曲线 C 上不同于 P 的一点，直线 PQ 称为曲线的割 线．随着点 Q 沿曲线 C 向点 P 运动，割线 PQ 在点 P 附近逼近曲线 C，当点 Q 无 限逼近点 P 时，直线 PQ 最终就成为经过点 P 处最逼近曲线的直线 l，这条直线 l 也称为曲线在点 P 处的切线．这种方法叫割线逼近切线． 思考：如上图，P 为已知曲线 C 上的一点，如何求出点 P 处的切线方程？ 三、数学运用 例 1　试求 在点(2，4)处的切线斜率． 解法一　分析：设 P(2，4)，Q(xQ，f(xQ))， 则割线 PQ 的斜率为： 2( )f x x＝当 Q 沿曲线逼近点 P 时，割线 PQ 逼近点 P 处的切线，从而割线斜率逼近切 线斜率； 当 Q 点横坐标无限趋近于 P 点横坐标时，即 xQ 无限趋近于 2 时，kPQ 无限趋 近于常数 4． 从而曲线 f(x)＝x2 在点(2，4)处的切线斜率为 4． 解法二　设 P(2，4)，Q(xQ，xQ2)，则割线 PQ 的斜率为： 当∆x 无限趋近于 0 时，kPQ 无限趋近于常数 4，从而曲线 f(x)＝x2，在点(2，4) 处的切线斜率为 4． 练习　试求 在 x＝1 处的切线斜率． 解：设 P(1，2)，Q(1＋Δx，(1＋Δx)2＋1)，则割线 PQ 的斜率为： 当∆x 无限趋近于 0 时，kPQ 无限趋近于常数 2，从而曲线 f(x)＝x2＋1 在 x＝1 处的切线斜率为 2． 小结　求曲线 上一点处的切线斜率的一般步骤： （1）找到定点 P 的坐标，设出动点 Q 的坐标； （2）求出割线 PQ 的斜率； （3）当 时，割线逼近切线，那么割线斜率逼近切线斜率． 思考 如上图，P 为已知曲线 C 上的一点，如何求出点 P 处的切线方程？ 解　设 2( ) 4 4 22 2 Q Q PQ Q Q Q f x xk xx x － －＝ ＝ ＝ ＋－ － 2 2 (2 ) 4 4 4 ∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆ PQ xk x x x xx ＋ －＝ ＋＝ ＝ ＋ 2( ) 1f x x＝ ＋ 2 2 [(1 ) 1] 2 2 2 ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ PQ xk x x x x x ＋ ＋ －＝ ＋＝ ＝ ＋ ( )y f x＝ ∞→∆x 0 0 0 0( ( )) ( ( ))∆ ∆P x f x Q x x f x x， ， ＋ ， ＋所以，当 无限趋近于 0 时， 无限趋近于点 处 的切线的斜率． 变式训练 1．已知 ，求曲线 在 处的切线斜率和切线方程； 2．已知 ，求曲线 在 处的切线斜率和切线方程； 3．已知 ，求曲线 在 处的切线斜率和切线方程． 课堂练习 已知 ，求曲线 在 处的切线斜率和切线方程． 四、回顾小结 1．曲线上一点 P 处的切线是过点 P 的所有直线中最接近 P 点附近曲线的直线， 则 P 点处的变化趋势可以由该点处的切线反映（局部以直代曲）． 2．根据定义，利用割线逼近切线的方法, 可以求出曲线在一点处的切线斜率 和方程． 五、课外作业 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∆ ∆ ∆ ∆PQ f x x f x f x x f xk x x x x ＋ － ＋ －∴ ＝ ＝＋ － x∆ 0 0( ) ( )∆ ∆ f x x f x x － － 0 0( ( ))P x f x， 2( )f x x＝ ( )y f x＝ 1x＝－ 1( )f x x－＝ ( )y f x＝ 1x＝－ 2( ) 1f x x＝ － ( )y f x＝ 1 2x＝ ( )f x x＝ ( )y f x＝ 1 2x＝