选修2-2《1.1.2 瞬时变化率——导数（3）》.doc

教学目标： 1．通过大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解 导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵； 2．会求简单函数的导数，通过函数图象直观地了解导数的几何意义； 3．体会建立数学模型刻画客观世界的“数学化”过程，进一步感受变量数学 的思想方法． 教学重点： 导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵，导数的几何意义． 教学难点： 对导数的几何意义理解． 教学过程： 一、复习回顾 1．曲线在某一点切线的斜率． （当∆x 无限趋向 0 时，kPQ 无限趋近于点 P 处切线 斜率） 2．瞬时速度． v 在 t0 的瞬时速度＝ 当 ∆t→0 时． ( ) ( ) PQ f x x f xk x ＋ －＝ ∆ ∆ 0 0( ) ( )f t t f t t ∆ ∆ ＋ － x 0 0( ) ( )∆∆ ∆ ∆ f t t f tsv t t ＋ －＝ ＝3．物体在某一时刻的加速度称为瞬时加速度． v 在 t0 的瞬时加速度＝ 当∆t→0 时． 二、建构数学 导数的定义． 函数 y＝f（x）在区间（a，b）上有定义，x 0∈(a，b)，如果自变量 x 在 x0 处 有增量△x，那么函数 y 相应地有增量△y＝f(x0＋△x)－f (x0)；比值 就叫函数 y＝ f（x）在 x0 到（x0＋△x）之间的平均变化率，即 ．如果当 时， ，我们就说函数 y＝f（x）在点 x0 处可导，并把 A 叫做函数 y＝ f（x）在点 x0 处的导数，记为 ， 三、数学运用 例 1　求 y＝x2＋2 在点 x＝1 处的导数. 解　∆y＝－(12＋2)＝2∆x＋(∆x)2 ＝ ＝2＋∆x ∴ ＝2＋∆x，当∆x→0 时， ＝2． 变式训练：求 y＝x2＋2 在点 x＝a 处的导数. 解　∆y＝－(a2＋2)＝2a∆x＋(∆x)2 ＝ ＝2a＋∆x ∴ ＝2a＋∆x，当∆x→0 时， ＝2a． 小结　求函数 y＝f(x)在某一点处的导数的一般步骤： （1）求增量　∆ y＝f(x0＋∆x)－f(x0)； （2）算比值　 ＝ ； （3）求 ＝ ，在∆x→0 时． 四、建构数学 0 0( ) ( )v t t v t t ∆ ∆ ＋ － y x ∆ ∆ 0 0( ) ( )f x x f xy x x + ∆ −∆ =∆ ∆ 0x∆ → y Ax ∆ →∆ 0x xy =′ 0 ' 0 0 0 ( ) ( )( ) , 0x x f x x f xyy f x xx x= + ∆ −∆′ = = = ∆ →∆ ∆ 当 y x ∆ ∆ 22 ( )x x x ∆ ∆ ∆ ＋ y x ∆ ∆ 1xy′＝ y x ∆ ∆ 22 ( )a x x x ∆ ∆ ∆ ＋ y x ∆ ∆ y′ y x ∆ ∆ 0 0( ) ( )f x x f x x ∆ ∆ ＋ － 0x xy′＝ y x ∆ ∆导函数． 若 f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则 f(x)在各点的导数也随着自变量 x 的 变化而变化，因而也是自变量 x 的函数，该函数 f(x)称为的导函数，记作 f (x)， 即 f (x0)＝y ＝ ＝ ，当∆x→0 时的值． 五、数学 运用 例 2　已知 y＝ ，求 y ，并求出函数在 x＝2 处的切线方程． 解　 ， ，当∆x→0 时的值． 当 x＝2 时切线的斜率为 ， 所以在 x＝2 切线方程为 即 切线方程为 ． 练习： 课本 P14 -1，2，3． 六、回顾小结 问题 1　本节课你学到了什么？ （1）了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵； （2）会求简单函数在某一点的导数；会求简单函数在某个区间上的导函数 ； （3）通过函数图象直观地了解导数的几何意 义． 问题 2　本节课体现了哪些数学思想方法？ （1）形结合的思想方法． y x ∆ ∆ 0 0( ) ( )f x x f x x ∆ ∆ ＋ － x y x x x∆ ∆＝ ＋ － y x x x x x ∆ ∆ ∆ ∆ ＋ －＝ y x x xy x x ∆ ∆ ∆ ∆ ′ ＋ －∴ ＝ ＝ 1 1 2x x x x∆＝ ＝ ＋ ＋ 1 2 2 k＝ 12 ( 2) 2 2 y x－ ＝ － 2 2 4 2y x＝ ＋（2）极限的思想方法．