高一数学人教A版必修四教案：1.5 函数y=Asin（ωx φ）的图象（二） Word版含答案.doc

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象（二） （一）、导入新课 思路 1.(直接导入)上一节课中,我们分别探索了参数φ、ω、A 对函数 y=Asin(ωx+φ)的 图象的影响及“五点法”作图.现在我们进一步熟悉掌握函数 y=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω>0, φ≠0)的图象变换及其物理背景.由此展开新课. 思路 2.(复习导入)请同学们分别用图象变换及“五点作图法”画出函数 y=4sin( x- ) 的简图,学生动手画图,教师适时的点拨、纠正,并让学生回答有关的问题.在学生回顾与复习上 节所学内容的基础上展开新课. （二）、推进新课、新知探究、提出问题 ①在上节课的学习中,用“五点作图法”画函数 y=Asin(ωx+φ)的图象时,列表中最关键的 步骤是什么？ ②(1)把函数 y＝sin2x 的图象向_____平移_____个单位长度得到函数 y＝sin(2x－ )的 图象； (2)把函数 y＝sin3x 的图象向_______平移_______个单位长度得到函数 y＝sin(3x＋ ) 的图象； (3)如何由函数 y＝sinx 的图象通过变换得到函数 y＝sin(2x+ )的图象？ ③将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向左平移 个单位长度,所 得到的曲线是 y= sinx 的图象,试求函数 y=f(x)的解析式. 对这个问题的求解现给出以下三种解法,请说出甲、乙、丙各自解法的正误. 甲：所给问题即是将 y= sinx 的图象先向右平移 个单位长度,得到 y= sin(x- )的图 象,再将所得的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ,得到 y= sin(2x- ),即 y= cos2x 的图象,∴f(x)= cos2x. 乙：设 f(x)=Asin(ωx+φ),将它的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,得到 y=Asin( x+ φ)的图象,再将所得的图象向左平移 个单位长度,得到 y=Asin( x+ +φ)= sinx,∴A= , =1, +φ=0, 2 1 3 π 3 π 6 π 3 π 2 π 2 1 2 1 2 π 2 1 2 π 2 1 2 1 2 π 2 1− 2 1− 2 ω 2 π 2 ω 2 π 2 1 2 1 2 ω 2 π 即 A= ,ω=2,φ=- .∴f(x)= sin(2x- )= cos2x. 丙：设 f(x)=Asin(ωx+φ),将它的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,得到 y=Asin( x+ φ)的图象,再将所得的图象向左平移 个单位长度,得到 y=Asin[ (x+ )+φ]=Asin( x+ +φ)= sinx, ∴A= , =1, +φ=0. 解得 A= ,ω=2,φ=- , ∴f(x)= sin(2x- )= cos2x. 活动:问题①,复习巩固已学三种基本变换,同时为导入本节课重、难点创设情境.让学生 回答并回忆 A、ω、φ对函数 y=Asin(ωx+φ)图象变化的影响.引导学生回顾“五点作图法”, 既复习了旧知识,又为学生准确使用本节课的工具提供必要的保障. 问题②,让学生通过实例综合以上两种变换,再次回顾比较两种方法平移量的区别和导致 这一现象的根本原因,以此培养训练学生变换的逆向思维能力,训练学生对变换实质的理解及 使用诱导公式的综合能力. 问题③,甲的解法是考虑以上变换的“逆变换”,即将以上变换倒过来,由 y= sinx 变换到 y=f(x),解答正确.乙、丙都是采用代换法,即设 y=Asin(ωx+φ),然后按题设中的变换得到两次变 换后图象的函数解析式,这种思路清晰,但值得注意的是:乙生的解答过程中存在实质性的错 误,就是将 y=Asin( x+φ)的图象向左平移 个单位长度时,把 y=Asin( x+φ)函数中的自变 量 x 变成 x+ ,应该变换成 y=Asin[ (x+ )+φ],而不是变换成 y=Asin( x+ +φ),虽然结 果一样,但这是巧合,丙的解答是正确的. 三角函数图象的“逆变换”一定要注意其顺序,比如甲生解题的过程中如果交换了顺序 就会出错,故在对这种方法不是很熟练的情况下,用丙同学的解法较合适(即待定系数法).平移 变换是对自变量 x 而言的,比如乙同学的变换就出现了这种错误. 讨论结果:①将ωx+φ看作一个整体,令其分别为 0, ,π, ,2π. ②(1)右, ；(2)左, ；(3)先 y＝sinx 的图象左移 ,再把所有点的横坐标压缩到原来的 倍(纵坐标不变). ③略. 提出问题 ①回忆物理中简谐运动的相关内容,并阅读本章开头的简谐运动的图象,你能说出简谐运 动的函数关系吗？ ②回忆物理中简谐运动的相关内容,回答:振幅、周期、频率、相位、初相等概念与 A、 ω、φ有何关系. 活动:教师引导学生阅读并适时点拨.通过让学生回忆探究,建立与物理知识的联系,了解常 2 1 2 π 2 1 2 π 2 1− 2 ω 2 π 2 ω 2 π 2 ω 4 ωπ 2 1 2 1 2 ω 4 ωπ 2 1 2 π 2 1 2 π 2 1− 2 1 2 ω 2 π 2 ω 2 π 2 ω 2 π 2 ω 2 π 2 π 2 3π 6 π 18 π 3 π 2 1数 A、ω、φ与简谐运动的某些物理量的关系,得出本章开头提到的“简谐运动的图象”所 对应的函数解析式有如下形式:y=Asin(ωx+φ),x∈［0,+∞),其中 A>0,ω>0.物理中,描述简谐 运动的物理量,如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关:A 就是这个简谐运动的 振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离;这个简谐运动的周期是 T= ,这是 做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间;这个简谐运动的频率由公式 f= = 给出, 它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数;ωx+φ称为相位;x=0 时的相位φ称为 初相. 讨论结果:①y=Asin(ωx+φ),x∈［0,+∞),其中 A>0,ω>0. ②略. （三）、应用示例 例 1 图 7 是某简谐运动的图象.试根据图象回答下列问题: (1)这个简谐运动的振幅、周期和频率各是多少? (2)从 O 点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了一次往复运动?如从 A 点算起呢? (3)写出这个简谐运动的函数表达式. 图 7 活动:本例是根据简谐运动的图象求解析式.教师可引导学生再次回忆物理学中学过的相 关知识,并提醒学生注意本课开始时探讨的知识,思考 y=Asin(ωx+φ)中的参数φ、ω、A 在图 象上是怎样反映的,要解决这个问题,关键要抓住什么.关键是搞清φ、ω、A 等参数在图象上 是如何得到反映的.让学生明确解题思路,是由形到数地解决问题,学会数形结合地处理问题. 完成解题后,教师引导学生进行反思学习过程,概括出研究函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的思想 方法,找两名学生阐述思想方法,教师作点评、补充. 解:(1)从图象上可以看到,这个简谐运动的振幅为 2 cm;周期为 0.8 s;频率为 . (2)如果从 O 点算起,到曲线上的 D 点,表示完成了一次往复运动;如果从 A 点算起,则到曲 线上的 E 点,表示完成了一次往复运动. (3)设这个简谐运动的函数表达式为 y=Asin(ωx+φ),x∈［0,+∞), 那么 A=2;由 =0.8,得ω= ;由图象知初相φ=0. 于是所求函数表达式是 y=2sin x,x∈［0,+∞). 点评:本例的实质是由函数图象求函数解析式,要抓住关键点.应用数学中重要的思想方法 ——数形结合的思想方法,应让学生熟练地掌握这种方法. 变式训练 函 数 y=6sin( x- ) 的 振 幅 是 , 周 期 是 ____________, 频 率 是 ____________, 初 相 是 ___________,图象最高点的坐标是_______________. ω π2 T 1 π ω 2 4 5 ω π2 2 5π 2 5π 4 1 6 π解:6 8π (8kπ+ ,6)(k∈Z) 例 2 若函数 y=Asin(ωx+φ)+B(其中 A>0,ω>0)在其一个周期内的图象上有一个最高点( ,3) 和一个最低点( ,-5),求这个函数的解析式. 活动:让学生自主探究题目中给出的条件,本例中给出的实际上是一个图象,它的解析式为 y=Asin(ωx+φ)+B(其中 A>0,ω>0),这是学生未遇到过的.教师应引导学生思考它与 y=Asin(ω x+φ)的图象的关系,它只是把 y=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω>0)的图象向上(B>0)或向下(B0)一个周期的图象如图 8 所示,求函数的解析式. 解:根据“五点法”的作图规律,认清图象中的一些已知点属于五点法中的哪一点,而选择 对应的方程ωxi+φ=0, ,π, ,2π(i=1,2,3,4,5),得出φ的值. 方法一:由图知 A=2,T=3π, 由 =3π,得ω= ,∴y=2sin( x+φ). 由“五点法”知,第一个零点为( ,0), π8 1 6 π− 3 8π 12 π 12 π 2 1 2 1 2 T 12 7π 12 π 2 π 12 π 12 π 6 π 2 π 6 π 2 π 3 π 3 π 2 π 2 3π ω π2 3 2 3 2 4 3π∴ · +φ=0φ=- , 故 y=2sin( x- ). 方法二:得到 y=2sin( x+φ)同方法一. 由图象并结合“五点法”可知,( ,0)为第一个零点,( ,0)为第二个零点. ∴ · +φ=πφ= . ∴y=2sin( x- ). 点评:要熟记判断“第一点”和“第二点”的方法,然后再利用ωx1+φ=0 或ωx2+φ=π求 出φ. 2.2007 海南高考,3 函数 y=sin(2x- )在区间［ ,π］上的简图是( ) 图 9 答案:A （四）、课堂小结 1.由学生自己回顾本节学习的数学知识:简谐运动的有关概念.本节学习的数学方法:由简单到 复杂、特殊到一般、具体到抽象的化归思想,数形结合思想,待定系数法,数学的应用价值. 2.三角函数图象变换问题的常规题型是:已知函数和变换方法,求变换后的函数或图象,这种题 目的解题的思路是:如果函数同名则按两种变换方法的步骤进行即可；如果函数不同名,则将 异名函数化为同名函数,且需 x 的系数相同.左右平移时,如果 x 前面的系数不是 1,需将 x 前 面的系数提出,特别是给出图象确定解析式 y=Asin(ωx+φ)的题型.有时从寻找“五点法”中的 第一零点( ,0)作为突破口,一定要从图象的升降情况找准第一零点的位置. （五）、作业 3 2 4 3π 2 π 3 2 2 π 3 2 4 3π 4 9π 3 2 4 9π 2 π− 3 2 2 π 3 π 2 π− ω ϕ−