1.5 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象
一、教学分析
本节通过图象变换,揭示参数φ、ω、A 变化时对函数图象的形状和位置的影响,讨论函
数 y=Asin(ωx+φ)的图象与正弦曲线的关系,以及 A、ω、φ的物理意义,并通过图象的变化过
程,进一步理解正、余弦函数的性质,它是研究函数图象变换的一个延伸,也是研究函数性质的
一个直观反映.这节是本章的一个难点.
如何经过变换由正弦函数 y=sinx 来获取函数 y=Asin(ωx+φ)的图象呢?通过引导学生对函
数 y＝sinx 到 y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索,让学生体会到由简单到复杂、由特殊到
一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后,将影响图象变换这一难点
的突破,让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法;通过对参数φ、ω、A
的分类讨论,让学生深刻认识图象变换与函数解析式变换的内在联系.
本节课建议充分利用多媒体,倡导学生自主探究,在教师的引导下,通过图象变换和“五点”
作图法,正确找出函数 y＝sinx 到 y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律,这也是本节课的重点所在.
二、教学目标：
1、知识与技能
借助计算机画出函数 y＝Asin(ωx+φ) 的图象，观察参数Φ，ω，A 对函数图象变化的
影响；引导学生认识 y＝Asin(ωx+φ) 的图象的五个关键点，学会用“五点法”画函数 y＝
Asin(ωx+φ)的简图；用准确的数学语言描述不同的变换过程.
2、过程与方法
通过引导学生对函数 y＝sinx 到 y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索, 让学生体会
研究问题时由简单到复杂, 从具体到一般的思路, 一个问题中涉及几个参数时，一般采取先
“各个击破”后“归纳整合”的方法.
3、情感态度与价值观
经历对函数 y＝sin x 到 y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索过程,体会数形结合以
及从特殊到一般的化归思想; 培养学生从不同角度分析问题，解决问题的能力.
三、教学重点、难点：
重点：将考察参数Α、ω、φ对函数 y=Asin(ωx+φ)图象的影响的问题进行分解，找
出函数 y＝sin x 到 y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律.学习如何将一个复杂问题分解为若干
简单问题的方法.；会用五点作图法正确画函数 y＝Asin(ωx+φ)的简图.
难点：学生对周期变换、相位变换顺序不同，图象平移量也不同的理解．
四、教学设想：
函数 y=Asin(ωx+φ)的图象（一）
（一）、导入新课
思路 1.(情境导入)在物理和工程技术的许多问题中,都要遇到形如 y=Asin(ωx+φ)的函数
(其中 A、ω、φ是常数).例如,物体做简谐振动时位移 y 与时间 x 的关系,交流电中电流强度 y
与时间 x 的关系等,都可用这类函数来表示.这些问题的实际意义往往可从其函数图象上直观
地看出,因此,我们有必要画好这些函数的图象.揭示课题:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象.
思路 2.(直接导入)从解析式来看,函数 y=sinx 与函数 y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?从
图象上看,函数 y=sinx 与函数 y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?接下来,我们就分别探索φ、
ω、A 对 y=Asin(ωx+φ)的图象的影响.（二）、推进新课、新知探究、提出问题
①观察交流电电流随时间变化的图象,它与正弦曲线有何关系？你认为可以怎样讨论参
数φ、ω、A 对 y=Asin(ωx+φ)的图象的影响？
②分别在 y=sinx 和 y=sin(x+ )的图象上各恰当地选取一个纵坐标相同的点,同时移动这
两点并观察其横坐标的变化,你能否从中发现,φ对图象有怎样的影响？对φ任取不同的值,
作出 y=sin(x+φ)的图象,看看与 y＝sinx 的图象是否有类似的关系？
③你概括一下如何从正弦曲线出发,经过图象变换得到 y=sin(x+φ)的图象.
④你能用上述研究问题的方法,讨论探究参数ω对 y=sin(ωx+φ)的图象的影响吗？为了
作图的方便,先不妨固定为φ= ,从而使 y=sin(ωx+φ)在ω变化过程中的比较对象固定为
y=sin(x+ ).
⑤类似地,你能讨论一下参数 A 对 y=sin(2x+ )的图象的影响吗？为了研究方便,不妨令
ω=2,φ= .此时,可以对 A 任取不同的值,利用计算器或计算机作出这些函数在同一坐标系
中的图象,观察它们与 y=sin(2x+ )的图象之间的关系.
⑥可否先伸缩后平移？怎样先伸缩后平移的？
活动:问题①,教师先引导学生阅读课本开头一段,教师引导学生思考研究问题的方法.同
时引导学生观察 y=sin(x+ )图象上点的坐标和 y=sinx 的图象上点的坐标的关系,获得φ对
y=sin(x+φ)的图象的影响的具体认识.然后通过计算机作动态演示变换过程,引导学生观察变
化过程中的不变量,得出它们的横坐标总是相差 的结论.并让学生讨论探究.最后共同总结
出:先分别讨论参数φ、ω、A 对 y=Asin(ωx+φ)的图象的影响,然后再整合.
图 1
问题②,由学生作出φ取不同值时,函数 y=sin(x+φ)的图象,并探究它与 y=sinx 的图象的关
系,看看是否仍有上述结论.教师引导学生获得更多的关于φ对 y=sin(x+φ)的图象影响的经验.
为了研究的方便,不妨先取φ= ,利用计算机作出在同一直角坐标系内的图象,如图 1,分别在
两条曲线上恰当地选取一个纵坐标相同的点 A、B,沿两条曲线同时移动这两点,并保持它们的
纵坐标相等,观察它们横坐标的关系.可以发现,对于同一个 y 值,y=sin(x+ )的图象上的点的
横坐标总是等于 y=sinx 的图象上对应点的横坐标减去 .这样的过程可通过多媒体课件,使
得图中 A、B 两点动起来(保持纵坐标相等),在变化过程中观察 A、B 的坐标、x B-xA、|AB|的
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π变化情况,这说明 y=sin(x+ )的图象,可以看作是把正弦曲线 y=sinx 上所有的点向左平移
个单位长度而得到的,同时多媒体动画演示 y=sinx 的图象向左平移 使之与 y=sin(x+ )的
图象重合的过程,以加深学生对该图象变换的直观理解.再取φ= ,用同样的方法可以得到
y=sinx 的图象向右平移 后与 y=sin(x )的图象重合.
如果再变换φ的值,类似的情况将不断出现,这时φ对 y=sin(x+φ)的图象的影响的铺垫已
经完成,学生关于φ对 y=sin(x+φ)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓.
问题③,引导学生通过自己的研究认识φ对 y=sin(x+φ)的图象的影响,并概括出一般结论:
y=sin(x+φ)(其中φ≠0)的图象,可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ
>0 时)或向右(当φ1 时)或伸长(当 00)的图象,可以看作是把 y=sin(ωx+φ)上所
有点的纵坐标伸长(当 A>1 时)或缩短(当 00)的图象变化的影响
情况.
一般地,函数 y=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω>0)的图象,可以看作用下面的方法得到:
先画出函数 y＝sinx 的图象;再把正弦曲线向左(右)平移|φ|个单位长度,得到
函数 y=sin(x+φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的 倍,得到函数
y=sin(ωx+φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 A 倍,这时的曲线
就是函数 y=Asin(ωx+φ)的图象.
⑥引导学生类比得出.其顺序是:先伸缩横坐标(或纵坐标),再伸缩纵坐标(或横坐标),最后
平移.但学生很容易在第三步出错,可在图象变换时,对比变换,以引起学生注意,并体会一些细
节.
由此我们完成了参数φ、ω、A 对函数图象影响的探究.教师适时地引导学生回顾思考
整个探究过程中体现的思想:由简单到复杂,由特殊到一般的化归思想.
（三）、讨论结果:
①把从函数 y=sinx 的图象到函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程,分解为先分别考察
参数φ、ω、A 对函数图象的影响,然后整合为对 y=Asin(ωx+φ)的整体考察.
②略②略.
③图象左右平移,φ影响的是图象与 x 轴交点的位置关系.
④纵坐标不变,横坐标伸缩,ω影响了图象的形状.
⑤横坐标不变,纵坐标伸缩,A 影响了图象的形状.
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ω
1（四）、规律总结:
先平移后伸缩的步骤程序如下:
y=sinx 的图象 得 y=sin(x+φ)的图象
得 y=sin(ωx+φ)的图象
得 y=Asin(ωx+φ)的图象.
先伸缩后平移(提醒学生尽量先平移),但要注意第三步的平移.
y=sinx 的图象 得 y=Asinx 的图象
得 y=Asin(ωx)的图象
得 y=Asin(ωx+φ)的图象.
（五）、应用示例
例 1 画出函数 y=2sin( x- )的简图.
活动:本例训练学生的画图基本功及巩固本节所学知识方法.
(1)引导学生从图象变换的角度来探究,这里的φ＝ ,ω＝ ,A＝2,鼓励学生根据本节
所学内容自己写出得到 y=2sin( x- )的图象的过程:只需把 y＝sinx 的曲线上所有点向右平
行移动 个单位长度,得到 y=sin(x- )的图象;再把后者所有点的横坐标伸长到原来的 3 倍
(纵坐标不变),得到 y=sin( x- )的图象;再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍
(横坐标不变)而得到函数 y=2sin( x- )的图象,如图 4 所示.
个单位长度平移
或向右向左
||
)0()0(
ϕ
ϕϕ →
)(1
)1()10(
纵坐标不变到原来
或缩短横坐标伸长
ω
ωω → >
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