1.6 三角函数模型的简单应用
一、教学分析
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画
周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.
三角函数模型的简单应用的设置目的,在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学
习.本节教材通过 4 个例题,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用,在素材的选
择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用.
通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科
的知识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.由于实际
问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,包括建立有关数
据的散点图,根据散点图进行函数拟合等.
二、教学目标
1、知识与技能：
掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将
实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.
2、过程与方法：
选择合理三角函数模型解决实际问题，注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相
关学科知识来帮助理解问题。切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值
和作用及数学和日常生活和其它学科的联系。
3、情态与价值：
培养学生数学应用意识;提高学生利用信息技术处理一些实际计算的能力。
三、教学重点与难点
教学重点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模
型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.
教学难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题.
四、教学设想：
三角函数模型的简单应用（一）
一、导入新课
思路 1.(问题导入)既然大到宇宙天体的运动,小到质点的运动以及现实世界中具有周期性
变化的现象无处不在,那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题？它到底能
发挥哪些作用呢？由此展开新课.
思路 2.我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质,特别研究了三角函数的周期性.在
现实生活中,如果某种变化着的现象具有周期性,那么是否可以借助三角函数来描述呢？回忆
必修 1 第三章第二节“函数模型及其应用”,面临一个实际问题,应当如何选择恰当的函数模
型来刻画它呢？以下通过几个具体例子,来研究这种三角函数模型的简单应用.
二、推进新课、新知探究、提出问题
①回忆从前所学,指数函数、对数函数以及幂函数的模型都是常用来描述现实世界中的
哪些规律的?②数学模型是什么,建立数学模型的方法是什么?
③上述的数学模型是怎样建立的?
④怎样处理搜集到的数据?
活动:师生互动,唤起回忆,充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程.对课前已
经做好复习的学生给予表扬,并鼓励他们类比以前所学知识方法,继续探究新的数学模型.对
还没有进入状态的学生,教师要帮助回忆并快速激起相应的知识方法.在教师的引导下,学生
能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是:收集数据→画散点图→选择函数模型→求解
函数模型→检验→用函数模型解释实际问题.
这点很重要,学生只要有了这个认知基础,本节的简单应用便可迎刃而解.新课标下的教学
要求,不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题,而是教师引领学生逐步登高,在合作探
究中自己解决问题,探求新知.
讨论结果:①描述现实世界中不同增长规律的函数模型.
②简单地说,数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似
地反映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的方法,是把实际问题加以
抽象概括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.
③解决问题的一般程序是:
1°审题:逐字逐句的阅读题意,审清楚题目条件、要求、理解数学关系；
2°建模:分析题目变化趋势,选择适当函数模型；
3°求解:对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；
4°还原:把数学结论还原为实际问题的解答.
④画出散点图,分析它的变化趋势,确定合适的函数模型.
三、应用示例
例 1 如图 1, 某地一天从 6—14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=sin(ωx+φ)+b.
图 1
(1)求这一天的最大温差;
(2)写出这段曲线的函数解析式.
活动:这道例题是 2002 年全国卷的一道高考题,探究时教师与学生一起讨论.本例是研究
温度随时间呈周期性变化的问题.教师可引导学生思考,本例给出模型了吗？给出的模型函数
是什么？要解决的问题是什么？怎样解决？然后完全放给学生自己讨论解决.
题目给出了某个时间段的温度变化曲线这个模型.其中第(1)小题实际上就是求函数图象
的解析式,然后再求函数的最值差.教师应引导学生观察思考:“求这一天的最大温差”实际指
的是“求 6 是到 14 时这段时间的最大温差”,可根据前面所学的三角函数图象直接写出而不
必再求解析式.让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.第(2)小题只要用
待定系数法求出解析式中的未知参数,即可确定其解析式.其中求ω是利用半周期(14-6),通过
建立方程得解.
解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是 20 ℃.(2)从图中可以看出,从 6—14 时的图象是函数 y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周期的图象,
∴A= (30-10)=10,b= (30+10)=20.
∵ · =14-6,
∴ω= .将 x=6,y=10 代入上式,解得φ= .
综上,所求解析式为 y=10sin( x+ )+20,x∈[6,14].
点评:本例中所给出的一段图象实际上只取 6—14 即可,这恰好是半个周期,提醒学生注意
抓关键.本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注
意自变量的变化范围,这点往往被学生忽略掉.
例 2 2007 全国高考 函数 y=|sinx|的一个单调增区间是( )
A.( , ) B.( , ) C.(π, ) D.( ,2
π)
答案:C
例 3 如图 2,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,
那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.
如果在北京地区(纬度数约为北纬 40°)的一幢高为 h0 的楼房北面盖一新楼,要使新楼一
层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少?
活动: 如图 2 本例所用地理知识、物理知识较多,综合性比较强,需调动相关学科的知识
来帮助理解问题,这是本节的一个难点.在探讨时要让学生充分熟悉实际背景,理解各个量的
含义以及它们之间的数量关系.
首先由题意要知道太阳高度角的定义:设地球表面某地纬度值为φ,正午太阳高度角为θ,
此时太阳直射纬度为δ,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬
半年δ取负值.
根据地理知识,能够被太阳直射到的地区为南、北回归线之间的地带,图形如图 3,由画图
易知
太阳高度角θ、楼高 h0 与此时楼房在地面的投影长 h 之间有如下关系:
h0=htanθ.
由地理知识知,在北京地区,太阳直射北回归线时物体的影子最短,直射南回归线时物体的
影子最长.因此,为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡,应当考虑太阳直射南回归线时的
情况.
2
1
2
1
2
1
ω
π2
8
π
4
3π
8
π
4
3π
4
π−
4
π
4
π
4
3π
2
3π
2
3π图 3
解:如图 3,A、B、C 分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影
点.要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况考虑,
此时的太阳直射纬度－23°26′.依题意两楼的间距应不小于 MC.
根据太阳高度角的定义,
有∠C＝90°－|40°－(－23°26′)|＝26°34′,
所以 MC＝ = ≈2.000h0,
即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距.
点评:本例是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题,是将实际问题直接抽象为与三角
函数有关的简单函数模型,然后根据所得的函数模型解决问题.要直接根据图 2 来建立函数模
型,学生会有一定困难,而解决这一困难的关键是联系相关知识,画出图 3,然后由图形建立函
数模型,问题得以求解.这道题的结论有一定的实际应用价值.教学中,教师可以在这道题的基
础上再提出一些问题,如下例的变式训练,激发学生进一步探究.
变式训练
某市的纬度是北纬 23°,小王想在某住宅小区买房,该小区的楼高 7 层,每层 3 米,楼与楼之
间相距 15 米.要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡,他应选择哪几层的房？
图 4
解:如图 4,由例 3 知,北楼被南楼遮挡的高度为
h=15tan［90°-(23°+23°26′)］=15tan43°34′≈14.26,
由于每层楼高为 3 米,根据以上数据,
所以他应选 3 层以上.
四、课堂小结
1.本节课学习了三个层次的三角函数模型的应用,即根据图象建立解析式,根据解析式作
出图象,将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.你能概括出建立三角函数模型解
决实际问题的基本步骤吗？
2.实际问题的背景往往比较复杂,而且需要综合应用多学科的知识才能解决它.因此,在应
用数学知识解决实际问题时,应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系,还要调动相关学
科知识来帮助理解问题.
五、作业
C
h
tan
0
'3426tan
0
h1.图 5 表示的是电流 I 与时间 t 的函数关系
图 5
I=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )在一个周期内的图象.
(1)根据图象写出 I=Asin(ωx+φ)的解析式;
(2)为了使 I=Asin(ωx+φ)中的 t 在任意一段 s 的时间内电流 I 能同时取得最大值和
最小值,那么正整数ω的最小值为多少?
解:(1)由图知 A=300,第一个零点为(－ ,0),第二个零点为( ,0),
∴ω·(－ )+φ=0,ω· +φ=π.解得ω=100π,φ= ,∴I=300sin(100πt+ ).
(2)依题意有 T≤ ,即 ≤ ,∴ω≥200π.故ωmin=629.
2.搜集、归纳、分类现实生活中周期变化的情境模型.
解:如以下两例:
①人体内部的周期性节律变化和个人的习惯性的生理变化,如人体脉搏、呼吸、排泄、
体温、睡眠节奏、饥饿程度等；
②蜕皮(tuipi)昆虫纲和甲壳纲等节肢动物,以及线形动物等的体表具有坚硬的几丁质层,
虽有保护身体的作用,但限制动物的生长、发育.因此,在胚后发育过程中,必须进行 1 次或数次
脱去旧表皮,再长出宽大的新表皮后,才变成成虫,这种现象称为蜕皮；蜕下的“旧表皮”称为
“蜕”,只有这样,虫体才能得以继续充分生长、发育.蜕皮现象的发生具有周期性,但蜕皮的准
备和蜕皮过程是连续进行的.此外,脊椎动物爬行类的蜕皮现象尤为明显,如蜥蜴和蛇具有双
层角质层,其外层在定期蜕皮时脱掉,蛇的外层角质层连同眼球外面透明的皮肤,约每 2 个月
为一个周期可完整地脱落 1 次,称为蛇蜕.
2
π
100
1
300
1
150
1
300
1
150
1
3
π
3
π
100
1
ω
π2
100
1
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