§2.2 平面向量的线性运算
教材分析
本节首先从数及数的运算谈起，有了数只能进行计数，只能引入了运算，数的威力才得
以充分展现。类比数的运算，向量也能够进行运算，运算引入后，向量的工具作用才能得到
充分发挥。教学中应引导学生体会考察一个量的运算问题，最主要的是认清运算的定义及其
运算律，这样才能正确、方便地实施运算。
平面向量的线性运算包括：向量加法、向量减法、向量数乘运算，以及它们之间的混合
运算。其中加法运算是最基本、最重要的运算，减法、数乘运算都以加法运算为基础，都可
以归结为加法运算。
向量的加法运算是通过类比数的加法，以位移的合成、力的合成等两个物理模型为背景
引入的，使加法运算的学习建立在学生已有认知基础上。由于向量有方向，在进行运算时，
不但要考虑大小，而且要考虑方向，应注意体会向量运算与数的运算的联系与区别，更好地
把握向量加法的特点。
类比数的减法（减去一个数等于加上这个数的相反数），向量减法的实质是：减去一个
向量，等于加上这个向量的相反向量；向量数乘运算则是相同向量的连加。
因此，与数的运算的类比，是学习向量的线性运算的重要方法。
向量的线性运算具有深刻的物理背景和几何意义，使得向量在解决物理和几何问题时可
以发挥很好的作用。
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
一、教学分析
向量的加法是学生在认识向量概念之后首先要掌握的运算,是向量的第二节内容.其主要内容
是运用向量的定义和向量相等的定义得出向量加法的三角形法则、平行四边形法则,并对向
量加法的交换律、结合律进行证明,同时运用他们进行相关计算,这可让同学们进一步加强对
向量几何意义的理解,同时也为接下来学习向量的减法奠定基础,起到承上启下的重要作用.
学生已经通过上节的学习,掌握了向量的概念、几何表示,理解了什么是相等向量和共线向量.
在学习物理的过程中,已经知道位移、速度和力这些物理量都是向量,可以合成,而且知道这些
矢量的合成都遵循平行四边形法则,这为本课题的引入提供了较好的条件.
培养数学的应用意识是当今数学教育的主题,本节课的内容与实际问题联系紧密,更应强化数
学来源于实际又应用于实际的意识.在向量加法的概念中,由于涉及到两个向量有不平行和平
行这两种情况,因此有利于渗透分类讨论的数学思想,而在猜测向量加法的运算律时,通过引
导学生利用实数加法的运算律进行类比.则能培养学生类比、迁移等能力.在实际教学中,类比
数的运算,向量也能够进行运算.运算引入后,向量的工具作用才能得到充分发挥.实际上,引入
一个新的量后,考察它的运算及运算律,是数学研究中的基本问题.教师应引导学生体会考察
一个量的运算问题,最主要的是认清运算的定义及其运算律,这样才能正确、方便地实施运算.
向量的加法运算是通过类比数的加法,以位移的合成、力的合力等两个物理模型为背景引入
的.这样做使加法运算的学习建立在学生已有的认知基础上,同时还可以提醒学生注意,由于
向量有方向,因此在进行向量运算时,不但要考虑大小问题,而且要考虑方向问题,从而使学生
体会向量运算与数的运算的联系与区别.这样做,有利于学生更好地把握向量加法的特
点.
二、教学目标：1、知识与技能：
掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；会用向量加法的三角形法则和平行四边形法
则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力。
2、过程与方法：
通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合
律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法。
3、情感态度与价值观：
通过阐述向量的加法运算与实数运算之间的相似性质，使学生理解事物之间相互联系的
辩证思想。
三、重点难点
教学重点:向量加法的运算及其几何意义.
教学难点:对向量加法法则定义的理解.
四、学法指导
数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移
的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加
法，让学生顺理成章接受向量的加法定义。结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边
形法则，联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律。
五、教学设想
（一）导入新课
思路 1.(复习导入)上一节,我们一起学习了向量的有关概念,明确了向量的表示方法,了解了零
向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念,并接触了这些概念的辨析判断.另外,向量和我
们熟悉的数一样也可以进行加减运算,这一节,我们先学习向量的加法.
思路 2.(问题导入)2004 年大陆和台湾没有直航,因此春节探亲,要先从台北到香港,再从香港
到上海,这两次位移之和是什么?怎样列出数学式子？一位同学按以下的命令进行活动:向北
走 20 米,再向西走 15 米,再向东走 5 米,最后向南走 10 米,怎样计算他所在的位置?由此导入
新课.
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①数能进行运算,向量是否也能进行运算呢？类比数的加法,猜想向量的加法,应怎样定
义向量的加法？
②猜想向量加法的法则是什么?与数的运算法则有什么不同?
图 1
活动:向量是既有大小、又有方向的量,教师引导学生回顾物理中位移的概念,位移可以合成,如
图 1.某对象从 A 点经 B 点到 C 点,两次位移 、 的结果,与 A 点直接到 C 点的位移
结果相同.力也可以合成,老师引导,让学生共同探究如下的问题:
图 2(1)表示橡皮条在两个力的作用下,沿着 GC 的方向伸长了 EO；图 2(2)表示撤去 F1 和 F2,用
AB BC
AC一个力 F 作用在橡皮条上,使橡皮条沿着相同的方向伸长相同的长度.
图 2
改变力 F1 与 F2 的大小和方向,重复以上的实验,你能发现 F 与 F1、F2 之间的关系吗?
力 F 对橡皮条产生的效果与力 F1 与 F2 共同作用产生的效果相同,物理学中把力 F 叫做
F1 与 F2 的合力.
合力 F 与力 F1、F2 有怎样的关系呢?由图 2(3)发现,力 F 在以 F1、F2 为邻边的平行四边形的对
角线上,并且大小等于平行四边形对角线的长.
数的加法启发我们,从运算的角度看,F 可以认为是 F1 与 F2 的和,即位移、力的合成看作向
量的加法.
讨论结果:①向量加法的定义:如图 3,已知非零向量 a、b,在平面内任取一点 A,作 =a,
=b,则向量 叫做 a 与 b 的和,记作 a+b,即 a+b= + = .
图 3
求两个向量和的运算,叫做向量的加法.
②向量加法的法则:
1°向量加法的三角形法则
在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则.运用这一法则时要特别注意
“首尾相接”,即第二个向量要以第一个向量的终点为起点,则由第一个向量的起点指向第二个
向量的终点的向量即为和向量.0
位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.
2°向量加法的平行四边形法则
图 4
如图 4,以同一点 O 为起点的两个已知向量 a、b 为邻边作平行四边形,则以 O 为起点的对角
线 就是 a 与 b 的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
力的合成可以看作向量加法的物理模型.
AB
BC AC AB BC AC
OC提出问题
①对于零向量与任一向量的加法,结果又是怎样的呢？
②两共线向量求和时,用三角形法则较为合适.当在数轴上表示两个向量时,它们的加法
与数的加法有什么关系？
③思考|a+b|,|a|,|b|存在着怎样的关系？
④数的运算和运算律紧密联系,运算律可以有效地简化运算.类似地,向量的加法是否也
有运算律呢?
活动:观察实际例子,教师启发学生思考,并适时点拨,诱导,探究向量的加法在特殊情况下的运
算,共线向量加法与数的加法之间的关系.数的加法满足交换律与结合律,即对任意 a,b∈R,有
a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).任意向量 a,b 的加法是否也满足交换律和结合律?引导学生画图进
行探索.
讨论结果:①对于零向量与任一向量,我们规定 a+0=0+a=a.
②两个数相加其结果是一个数,对应于数轴上的一个点;在数轴上的两个向量相加,它们
的和仍是一个向量,对应于数轴上的一条有向线段.
③当 a,b 不共线时,|a+b|
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