2.2.2 向量减法运算及其几何意义
一、教学分析
向量减法运算是加法的逆运算.学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量
的减法运算.因此,类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数),首先引进相反向量的
概念,然后引入向量的减法(减去一个向量,等于加上这个向量的相反向量),通过向量减法的三
角形法则和平行四边形法则,结合一定数量的例题,深刻理解向量的减法运算.通过阐述向量
的减法运算,可以转化为向量加法运算,渗透化归的数学思想,使学生理解事物之间的相互转
化、相互联系的辨证思想,同时由于向量的运算能反映出一些物理规律,从而加强了数学学科
与物理学科之间的联系,提高学生的应用意识.
二、教学目标：
1、知识与技能：
了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义。
2、过程与方法：
通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量减法运算及其几何意义，
并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法。
3、情感态度与价值观：
通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转
化的辩证思想。
三、重点难点
教学重点:向量的减法运算及其几何意义.
教学难点:对向量减法定义的理解.
四、学法指导
减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握
向量的减法运算；并利用三角形做出减向量。
五、教学设想
（一）导入新课
思路 1.(问题导入)上节课,我们定义了向量的加法概念,并给出了求作和向量的两种方法.由向
量的加法运算自然联想到向量的减法运算:减去一个数等于加上这个数的相反数.向量的减法
是否也有类似的法则呢?引导学生进一步探究,由此展开新课.
思路 2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算.本节课,我们继续学习向量加法的逆运
算——减法.引导学生去探究、发现.
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①向量是否有减法？
②向量进行减法运算,必须先引进一个什么样的新概念？
③如何理解向量的减法？
④向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则,那么,向量的减法是否也有类似的法
则？
活动:数的减法运算是数的加法运算的逆运算,数的减法定义即减去一个数等于加上这个数
的相反数,因此定义数的减法运算,必须先引进一个相反数的概念.类似地,向量的减法运算也
可定义为向量加法运算的逆运算.可类比数的减法运算,我们定义向量的减法运算,也应引进一个新的概念,这个概念又该如何定义?
引导学生思考,相反向量有哪些性质?
由于方向反转两次仍回到原来的方向,因此 a 和-a 互为相反向量.
于是-(-a)=a.
我们规定,零向量的相反向量仍是零向量.
任一向量与其相反向量的和是零向量,即 a+(-a)=(-a)+a=0.
所以,如果 a、b 是互为相反的向量,那么 a=-b,b=-a,a+b=0.
(1)平行四边形法则
图 1
如图 1,设向量 =b, =a,则 =-b,由向量减法的定义,知 =a+(-b)=a-b.
又 b+ =a,所以 =a-b.
由此,我们得到 a-b 的作图方法.
图 2
(2)三角形法则
如图 2,已知 a、b,在平面内任取一点 O,作 =a, =b,则 =a-b,即 a-b 可以表示为从
b 的终点指向 a 的终点的向量,这是向量减法的几何意义.
讨论结果:①向量也有减法运算.
②定义向量减法运算之前,应先引进相反向量.
与数 x 的相反数是-x 类似,我们规定,与 a 长度相等,方向相反的量,叫做 a 的相反向量,记
作-a.
③向量减法的定义.我们定义
a-b=a+(-b),
即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
规定:零向量的相反向量是零向量.
④向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则,这也正是向量的运算的几何意义
所在,是数形结合思想的重要体现.
提出问题
①上图中,如果从 a 的终点到 b 的终点作向量,那么所得向量是什么?
②改变上图中向量 a、b 的方向使 a∥b,怎样作出 a-b 呢?
讨论结果:① =b-a.
②略.
AB AC AD AE
BC BC
OA OB BA
AB（三）应用示例
如图 3(1),已知向量 a、b、c、d,求作向量 a-b,c-d.
图 3
活动:教师让学生亲自动手操作,引导学生注意规范操作,为以后解题打下良好基础;点拨学生
根据向量减法的三角形法则,需要选点平移作出两个同起点的向量.
作法:如图 3(2),在平面内任取一点 O,作 =a, =b, =c, =d.则 =a-b,
=c-d.
变式训练
(2006 上海高考) 在 ABCD 中,下列结论中错误的是( )
A. = B.AD+ = C. -AD=BDD.AD+ =0
分析:A 显然正确,由平行四边形法则可知 B 正确,C 中, - = 错误,D 中, +
= + =0 正确.
答案:C
例 2 如图 4, ABCD 中, =a, =b,你能用 a、b 表示向量 、 吗?
图 4
活动:本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量,这是用向量证明几何问题的基础.要多
注意这方面的训练,特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系.
解:由向量加法的平行四边形法则,我们知道 =a+b,
同样,由向量的减法,知 = - =a-b.
变式训练
1.(2005 高考模拟) 已知一点 O 到 ABCD 的 3 个顶点 A、B、C 的向量分别是 a、b、c,则向
量 等于( )
A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a-b-c
OA OB OC OD BA DC
AB DC AB AC AB BC
AB AD BD AD
BC AD DA
AB AD AC DB
AC
DB AB AD
OD图 5
解析:如图 5,点 O 到平行四边形的三个顶点 A、B、C 的向量分别是 a、b、c,
结合图形有 = + = + = + - =a-b+c.
答案:B
2.若 =a+b, =a-b.
①当 a、b 满足什么条件时,a+b 与 a-b 垂直？
②当 a、b 满足什么条件时,|a+b|=|a-b|？
③当 a、b 满足什么条件时,a+b 平分 a 与 b 所夹的角？
④a+b 与 a-b 可能是相等向量吗？
图 6
解析:如图 6,用向量构建平行四边形,其中向量 、 恰为平行四边形的对角线.
由平行四边形法则,得
=a+b, = - =a-b.
由此问题就可转换为:
①当边 AB、AD 满足什么条件时,对角线互相垂直？(|a|=|b|)
②当边 AB、AD 满足什么条件时,对角线相等？(a、b 互相垂直)
③当边 AB、AD 满足什么条件时,对角线平分内角？(a、b 相等)
④a+b 与 a-b 可能是相等向量吗？(不可能,因为对角线方向不同)
点评:灵活的构想,独特巧妙,数形结合思想得到充分体现.由此我们可以想到在解决向量问题
时,可以利用向量的几何意义构造几何图形,转化为平面几何问题,这就是数形结合解题的威
力与魅力,教师引导学生注意领悟.
例 3 判断题:
(1)若非零向量 a 与 b 的方向相同或相反,则 a+b 的方向必与 a、b 之一的方向相同.
(2)△ABC 中,必有 + + =0.
(3)若 + + =0,则 A、B、C 三点是一个三角形的三顶点.
(4)|a+b|≥|a-b|.
活动:根据向量的加、减法及其几何意义.
解:(1)a 与 b 方向相同,则 a+b 的方向与 a 和 b 方向都相同;
若 a 与 b 方向相反,则有可能 a 与 b 互为相反向量,
此时 a+b=0 的方向不确定,说与 a、b 之一方向相同不妥.
OD OA AD OA BC OA OC OB
AC DB
AC DB
AC DB AB AD
AB BC CA
AB BC CA(2)由向量加法法则 + = , 与 CA 是互为相反向量,所以有上述结论.
(3)因为当 A、B、C 三点共线时也有 + + =0,而此时构不成三角形.
(4)当 a 与 b 不共线时,|a+b|与|a-b|分别表示以 a 和 b 为邻边的平行四边形的两条对角
线的长,其大小不定.
当 a、b 为非零向量共线时,同向则有|a+b|>|a-b|,异向则有|a+b|
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