2.5 等比数列的前 n 项和
2.5.1 等比数列前 n 项和公式的推导与应用
从容说课
师生将共同分析探究等比数列的前 n 项和公式.公式的推导以教材中的“错位相减法”
为最基本的方法,“错位相减法”也是一种算法,其设计的思路是“消除差别”,从而达到
化简的目的.
等比数列前 n 项和公式的推导还有许多方法,可启发、引导学生进行探索.例如,根据
等比数列的定义可得 ,
再由分式性质,得 ,整理得 .
教学中应充分利用信息和多媒体技术,还应给予学生充分的探索空间.
教学重点 1.等比数列前 n 项和公式的推导;
2.等比数列前 n 项和公式的应用.
教学难点 等比数列前 n 项和公式的推导.
教具准备 多媒体课件、投影胶片、投影仪等
三维目标
一、知识与技能
1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题;
2.探索并掌握等比数列前 n 项和公式;
3.用方程的思想认识等比数列前 n 项和公式,利用公式知三求一;
4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想.
二、过程与方法
1.采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学;
2.发挥学生的主体作用,作好探究性活动.
三、情感态度与价值观
1.通过生活中有趣的实例,鼓励学生积极思考,激发学生对知识的探究精神和严肃认真
的科学态度,培养学生的类比、归纳的能力;
2.在探究活动中学会思考,学会解决问题的方法;
3.通过对有关实际问题的解决,体现数学与实际生活的密切联系,激发学生学习的兴趣.
教学过程
导入新课
师 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗?
生 知道一些,踊跃发言.
师 “请在第一个格子里放上 1 颗麦粒,第二个格子里放上 2 颗麦粒,第三个格子里放上 4
颗麦粒,以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的 2 倍.直到第 64 个
格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求.
师 假定千粒麦子的质量为 40 g,按目前世界小麦年度产量约 60 亿吨计.你认为国王能不能
满足他的要求?
生 各持己见.动笔,列式,计算.
qa
a
a
a
a
a
a
a
n
n
n
n =====
−
−
− 1
2
2
3
2
1
1
...
qaS
aS
nn
n =−
− 1 )1(1
1 ≠−
−= qq
qaaS n
n生 能列出式子:麦粒的总数为
1+2+22+…+263=?
师 这是一个什么样的问题?你们计算出结果了吗?让我们一起来分析一下.
课件展示:
1+2+22+…+2 63=?
师 我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列,那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项
是 1,公比是 2,求第 1 个格子到第 64 个格子所放的麦粒数总和,就是求这个等比数列的前
64 项的和.
现在我们来思考一下这个式子的计算方法:
记 S=1+2+22+23+…+2 63,式中有 64 项,后项与前项的比为公比 2,当每一项都乘以 2 后,
中间有 62 项是对应相等的,作差可以相互抵消.
课件展示:
S=1+2+22+23+…+2 63,①
2S=2+22+23+…+263+264,②
②-①得
2S-S=2 64-1.
264-1 这个数很大,超过了 1.84×10 19,假定千粒麦子的质量为 40 g,那么麦粒的总质量超
过了 7 000 亿吨.而目前世界年度小麦产量约 60 亿吨,因此,国王不能实现他的诺言.
师 国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺,导致了一个很不幸的后果的发生,这都是
他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识,正是我们这节课所
要探究的知识.
推进新课
[合作探究]
师 在对一般形式推导之前,我们先思考一个特殊的简单情形:1+q+q2+…+qn=?
师 这个式子更突出表现了等比数列的特征,请同学们注意观察.
生 观察、独立思考、合作交流、自主探究.
师 若将上式左边的每一项乘以公比 q,就出现了什么样的结果呢?
生 q+q2+…+qn+q n+1.
生 每一项就成了它后面相邻的一项.
师 对上面的问题的解决有什么帮助吗?
师 生共同探索:
如果记 Sn=1+q+q2+…+qn,
那么 qSn=q+q2+…+qn+q n+1.
要想得到 Sn,只要将两式相减,就立即有(1-q)Sn=1-qn.
师 提问学生如何处理,适时提醒学生注意 q 的取值.
生 如果 q≠1,则有 .
师 当然,我们还要考虑一下如果 q=1 问题是什么样的结果.
生 如果 q=1,那么 Sn=n.
师 上面我们先思考了一个特殊的简单情形,那么,对于等比数列的一般情形我们怎样思考?
课件展示:
a1+a2+a3+…+an=?
[教师精讲]
q
qS
n
−
−=
1
1师 在上面的特殊简单情形解决过程中,蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法,那就
是“错位相减,消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”.
师 在解决等比数列的一般情形时,我们还可以使用“错位相减法”.
如果记 Sn=a1+a2+a3+…+an,
那么 qSn=a1q+a2q+a3q+…+anq,
要想得到 Sn,只要将两式相减,就立即有(1-q)Sn=a1-anq.
师 再次提醒学生注意 q 的取值.
如果 q≠1,则有 .
师 上述过程如果我们略加变化一下,还可以得到如下的过程:
如果记 Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1q n-1,
那么 qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn,
要想得到 Sn,只要将两式相减,就立即有(1-q)Sn=a1-a1qn.
如果 q≠1,则有 .
师 上述推导过程,只是形式上的不同,其本质没有什么差别,都是用的“错位相减法”.
形式上,前一个出现的是等比数列的五个基本量:a1,q,an,Sn,n 中 a1,q,an,Sn 四个;后者出
现的是 a1,q,Sn,n 四个,这将为我们今后运用公式求等比数列的前 n 项的和提供了选择的余
地.
值得重视的是:上述结论都是在“如果 q≠1”的前提下得到的.言下之意,就是只有当等比
数列的公比 q≠1 时,我们才能用上述公式.
师 现在请同学们想一想,对于等比数列的一般情形,如果 q=1 问题是什么样的结果呢?
生 独立思考、合作交流.
生 如果 q=1,Sn=na1.
师 完全正确.
如果 q=1,那么 Sn=nan.正确吗?怎么解释?
生 正确.q=1 时,等比数列的各项相等,它的前 n 项的和等于它的任一项的 n 倍.
师 对了,这就是认清了问题的本质.
师 等比数列的前 n 项和公式的推导还有其他的方法,下面我们一起再来探讨一下:
[合作探究]
思路一:根据等比数列的定义,我们有: ,
再由合比定理,则得 ,
即 ,
从而就有(1-q)Sn=a1-anq.
(以下从略)
思路二:由 Sn=a1+a2+a3+…+an 得
q
qaaS n
n −
−=
1
1
q
qaS
n
n −
−=
1
)1(1
qa
a
a
a
a
a
a
a
n
n =====
−13
4
2
3
1
2 ...
qaaaa
aaaa
n
n =++++
++++
−1321
432
...
...
qaS
aS
nn
n =−
− 1Sn=a1+a1q+a2q+…+a n-1q=a1+q(a1+a2+…+a n-1)=a1+q(Sn-an),
从而得(1-q)Sn=a1-anq.
(以下从略)
师 探究中我们们应该发现,Sn-S n-1=an 是一个非常有用的关系,应该引起大家足够的重视.
在这个关系式中,n 的取值应该满足什么条件?
生 n>1.
师 对的,请同学们今后多多关注这个关系式:Sn-S n-1=an,n>1.
师 综合上面的探究过程,我们得出:
或者
[例题剖析]
【例题 1】 求下列等比数列的前 8 项的和:
(1) , , ,…;
(2)a1=27,a9= ,q<0.
[合作探究]
师生共同分析:
由(1)所给条件,可得 , ,求 n=8 时的和,直接用公式即可.
由(2)所给条件,需要从 中获取求和的条件,才能进一步求 n=8 时的和.而
a9=a1q8,所以由条件可得 q8= = ,再由 q<0,可得 ,将所得的值代入
公式就可以了.
生 写出解答:
(1)因为 , ,所以当 n=8 时, .
(2)由 a1=27, ,可得 ,
又由 q<0,可得 ,
于是当 n=8 时, .
【例题 2】 某商场今年销售计算机 5 000 台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加
10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到 30 000 台(结果保留到个位)?
≠−
−
=
=
1,1
)1(
,1,
1
1
qq
qa
qna
S n
n 1,1
,1,
1
1
≠
−
−
=
q
q
qaa
qna
n
2
1
4
1
8
1
243
1
2
1
1 =a 2
1=q
243
1
9 =a
1
9
a
a
27243
1
× 3
1−=q
2
1
1 =a 2
1=q 256
255
2
11
)2
1(1[2
1 8
8 =
−
−
=S
243
1
9 =a 27243
1
1
98
×==
a
aq
3
1−=q
81
1640
)3
1(1
)27243
11(27
1
8 =
−−
×−
=S师 根据题意,从中发现等比关系,从中抽象出等比数列,并明确这是一个已知 Sn=30 000
求 n 的问题.
生 理解题意,从中发现等比关系,并找出等比数列中的基本量,列式,计算.
解:根据题意,每年的销售量比上一年增加的百分率相同,所以,从今年起,每年销售量组
成一个等比数列{an},其中 a1=5 000,q=1+10%=1.1,Sn=30 000.
于是得到 ,
整理得 1.1n=1.6,
两边取对数,得 nlg1.1=lg1.6,
用计算器算得 ≈ ≈5(年).
答:大约 5 年可以使总销售量达到 30 000 台.
练习:
教材第 66 页,练习第 1、2、3 题.
课堂小结
本节学习了如下内容:
1.等比数列前 n 项和公式的推导;特别是在推导过程中,学到了“错位相减法”.
2.等比数列前 n 项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的 4 个量,一般需要
知道其中的 3 个,才能求出另外一个量.另外应该注意的是,由于公式有两个形式,在应用
中应该根据题意所给的条件,适当选择运用哪一个公式.
在使用等比数列求和公式时,注意 q 的取值是至关重要的一个环节,需要放在第一位来思考.
布置作业
课本第 69 页习题 2.5 A 组第 1、2、3 题.
板书设计
等比数列前 n 项和公式的推导与应用
等比数列的前 n 项和公式
情境问题的推导 一般情形的推导 例 1
练习:(学生板演) 例 2
练习:(学生板演)
300001.11
)1.11(5000 =−
− n
1.1lg
6.1lg=n 041.0
2.0