巧用三角函数进行遮阳篷设计.doc

1 巧用三角函数进行遮阳篷设计 1 、问题的提出及分析 我们地处北半球，房屋的窗户大部分朝南。在寒冷的冬天，有温暖 的阳光射入，人们的心情便会舒畅；在夏天，炙热的阳光射入，人们的 心情便会因室内的温度太高而烦躁。因此，遮阳篷的合理设计成为一个 重要的问题。本文就这一问题进行分析，并得出结果。 冬天与夏天的正午太阳高度是不同的，对我们北半球居民来说，冬 至正午太阳高度最小；夏至正午太阳高度最大。遮阳篷的设计应考虑正 午太阳高度。此外，遮阳篷的设计也和窗户的纵长有关。 2 、模型的建立 （1）模型假设 我国绝大部分地区位于北回归线以北，为了简化模型，方便处理， 本文只研究北回归线以北的地区。 （2）符号说明 α 最小正午高度 β 最大正午高度2 h 窗户的纵长 （3）模型设计 当正午太阳高度是α时，要想使太阳光刚好全部射入室内，那么 遮阳篷的边 BD 必须和太阳光平行，即 BD 边必须与地平面的夹角为α。 又因为△BCD 是直角三角形，CD 平行于地平面，此时只要∠BDC=α，就 能保证太阳光刚好全部射入。如图，这样的直角三角形不是唯一的，即 BC 不唯一，CD 也不唯一，但 =tanα. 当正午太阳高度是β时，要想阳光刚好不射入室内，则太阳光从 顶点 D 射入后，刚好过 A 点，因为 CD 平行于地平面，DA 与地平面的夹 角为β，则 CD 与太阳光的夹角即∠CDA 也等于β，只要∠CDA=β，太阳 光就刚好不射入室内。如图，满足条件的 CD 有无数条，因此 CD 是不唯 一的，BC 当然也不唯一。 如果同时满足上述两个条件,如图所示，则∠BDC=α,∠ADC=β,又 因为 AB=h,BC 应该是唯一确定的。 CD BC3 现在我们用含α、β、h 的关系式表示 BC. 在 Rt△BCD 中，∠BDC=α， 则 BC=CDtanα① 在 Rt△ACD 中，∠ADC=β， 则 AC=h+BC=CDtanβ.② 把①代入②得 h+CDtanα=CDtanβ.③ 解③得 CD= 因此在 Rt△BCD 中，BC=CDtanα= （4）模型结论 通过以上分析与推导，我们有： CD 的最佳长度为 BC 的最佳长度为 3、 总结 本文研究了如何合理设计遮阳篷的问题，然后利用所学的数学知识， 建立起一个简单的数学模型。推导出了遮阳篷的最佳位置与尺寸，给生 活中遮阳篷的安装有重要的参考作用。 αβ tantan − h αβ α tantan tan − h αβ tantan − h αβ α tantan tan − h