三角函数的发展史.doc

三角函数的发展史 “三角学”，英文 trigonometry，法文 trigonometrie，德文 Trigonometrie，都来自拉丁文 trigonometria。现代三角学一词最初见於希腊 文。最先使用 trigonometry 这个词的是皮蒂斯楚斯( Bartholomeo Pitiscus,1516-1613)，他在 1595 年出版一本著作，创造了这个新词。它是由 τριγωυου(三角学)及 μετρει υ(测量)两字构成的，原意为三角形的测量，或者说解三角形。古希腊文裏没有 这个字，原因是当时三角学还没有形成一门独立的科学，而是依附於天文学。因 此解三角形构成了古代三角学的实用基础。 早期的解三角形是因天文观测的需要而引起的。还在很早的时候，由於垦殖 和畜牧的需要，人们就开始作长途迁移；后来，贸易的发展和求知的欲望，又推 动他们去长途旅行。在当时，这种迁移和旅行是一种冒险的行动。人们穿越无边 无际、荒无人烟的草地和原始森林，或者经水路沿著海岸线作长途航行，无论是 那种方式，都首先要明确方向。那时，人们白天拿太阳作路标，夜裏则以星星为 指路灯。太阳和星星给长期跋山涉水的商队指出了正确的道路，也给那些沿著遥 远的异域海岸航行的人指出了正确方向。 就这样，最初的以太阳和星星为目标的天文观测，以及为这种观测服务的原 始的三角测量就应运而生了。因此可以说，三角学是紧密地同天文学相联系而迈 出自己发展史的第一步的。 三角学问题的提出 三角学理论的基础，是对三角形各元素之间相依关系的认识。一般认为，这 一认识最早是由希腊天文学家获得的。当时，希腊天文学家为了正确地测量天体 的位置。研究天体的运行轨道，力求把天文学发展成为一门以精确的观测和正确 的计算为基础之具有定量分析的科学。他们给自己提出的第一个任务是解直角三 角形，因为进行天文观测时，人与星球以及大地的位置关系，通常是以直角三角 形边角之间的关系反映出来的。在很早以前，希腊天文学家从天文观测的经验中 获得了这样一个认识：星球距地面的高度是可以通过人观测星球时所采用的角度 来反映的(如图一)；角度(∠ABC)越大，星球距地面(AC)就越高。然而，星球的高度与人观测的角度之间在数量上究竟怎麼样呢？能不能把各种不同的角度所 反映的星球的高度都一一算出来呢?这就是天文学向数学提出的第一个课题—制 造弦表。所谓弦表，就是在保持 AB 不变的情况下可以供查阅的表 (如图二)，AC 的长度与∠ABC 的大小之间的对应关系。 独立三角学的产生 虽然后期的阿拉伯数学家已经开始对三角学进行专门的整理和研究，他们的 工作也可以算作是使三角学从天文学中独立出来的表现，但是严格地说，他们并 没有创立起一门独立的三角学。真正把三角学作为数学的一个独立学科加以系统 叙述的，是德国数学家雷基奥蒙坦纳斯。 雷基奥蒙坦纳斯是十五世纪最有声望的德国数学家约翰�谬勒的笔名。他生 於哥尼斯堡，年轻时就积极从事欧洲文艺复兴时期作品的收集和翻译工作，并热 心出版古希腊和阿拉伯著作。因此对阿拉伯数学家们在三角方面的工作比较了解。 1464 年，他以雷基奥蒙坦纳斯的名字发表了《论各种三角形》。在书中， 他把以往散见在各种书上的三角学知识，系统地综合了起来，成了三角学在数学 上的一个分支。 现代三角学的确认 直到十八世纪，所有的三角量：正弦、余弦、正切、余切、正割和余割，都 始终被认为是已知圆内与同一条弧有关的某些线段，即三角学是以几何的面貌表 现出来的，这也可以说是三角学的古典面貌。三角学的现代特徵，是把三角量看 作为函数，即看作为是一种与角相对应的函数值。这方面的工作是由欧拉作出的。 1748 年，尤拉发表著名的《无穷小分析引论》一书，指出：”三角函数是一种 函数线与圆半径的比值”。具体地说，任意一个角的三角函数，都可以认为是以 这个角的顶点为圆心，以某定长为半径作圆，由角的一边与圆周的交点 P 向另一 边作垂线 PM 后，所得的线段 OP、OM、MP(即函数线)相互之间所取的比值(如图 八)，sinα＝MP/OP，cosα＝OM/OP，tanα＝MP/OM 等。若令半径为单位长，那 麼所有的六个三角函数又可大为简化。尤拉的这个定义是极其科学的，它使三角学从静态地只是研究三角形解法的 狭隘天地中解脱了出来，使它有可能去反映运动和变化的过程，从而使三角学成 为一门具有现代特徵的分析性学科。正如欧拉所说，引进三角函数以后，原来意 义下的正弦等三角量，都可以脱离几何图形去进行自由的运算。一切三角关系式 也将很容易地从三角函数的定义出发直接得出。这样，就使得从希帕克起许多数 学家为之奋斗而得出的三角关系式，有了坚实的理论依据，而且大大地丰富了。 严格地说，这时才是三角学的真正确立。 “正弦”的由来 公元五世纪到十二世纪，印度数学家对三角学作出了较大的贡献。尽管当 时三角学仍然还是天文学的一个计算工具，是一个附属品，但是三角学的内容却 由於印度数学家的努力而大大的丰富了。 三角学中”正弦”和”余弦”的概念就是由印度数学家首先引进的，他们 还造出了比托勒密更精确的正弦表。 我们已知道，托勒密和希帕克造出的弦表是圆的全弦表，它是把圆弧同弧 所夹的弦对应起来的。印度数学家不同，他们把半弦(AC)与全弦所对弧的一半(AD) 相对应，即将 AC 与∠AOC 对应(如图五 )，这样，他们造出的就不再是”全弦 表”，而是”正弦表”了。 印度人称连结弧(AB)的两端的弦(AB)为”吉瓦”，是弓弦的意思；称 AB 的 一半(AC) 为”阿尔哈吉瓦”。后来”吉瓦”这个词译成阿拉伯文时被误解为” 弯曲”、”凹处”，阿拉伯语是 ”dschaib”。十二世纪，阿拉伯文被转译成拉 丁文，这个字被意译成了”sinus”。 三角学输入我国，开始於明崇祯 4 年(1631 年)，这一年，邓玉函、汤若 望和徐光启合编《大测》，作为历书的一部份呈献给朝廷，这是我国第一部编译 的三角学。在《大测》中，首先将 sinus 译为”正半弦”，简称”正弦”，这就 成了正弦一词的由来。 “弦表”问世根据现在的认识，弦表的制作似应该是由一系列不同的角出发，去作一系 列直角三角形，然后一一量出 AC，A’C’，A’’C’’…之间的距离。然而， 第一张弦表制作者希腊文学家希帕克 (Hipparchus，约前 180~前 125)不是这样 作，他采用的是在同一个固定的圆内，去计算给定度数的圆弧 AB 所对应的弦 AB 的长(如图三)。这就是说，希帕克是靠计算，而不是靠工具量出弦长来制表的， 这正是他的卓越之处。希帕克的原著早已失传，现在我们所知关於希帕克在三角 学上的成就，是从公元二世纪希腊著名天文学家托勒密的遗著《天文集》中得到 的。虽然托勒密说他的这些成就出自希帕克，但事实上不少是他自己的创造。 据托勒密书中记载，为了度量圆弧与弦长，他们采用了巴比伦人的 60 进位法。 把圆周 360 等分，把它的半径 60 等分，在圆周和半径的每一等分中再等分 60 份， 每一小份又等分为 60 份，这样就得出了托勒密所谓的第一小份和第二小份。很 久以后，罗马人把它们分别取名为”partes minutae primae”和”partes minutae secundae”；后来，这两个名字演变为”minute”和”second”，成为现在角和 时间的度 量上”分”和”秒”这两个单位得起源。 建立了半径与圆周的度量单位以后，希帕克和托勒密先著手计算一些特殊 圆弧所对应的弦长。比如 60o 弧(1/6 圆周长)所对的弦长，正好是内接正六边形 的边长，它与半径相等，因此得出 60o 弧对应的弦值是 60 个半径单位(半径长的 1/60 为一个单位)；用同样的方法，可以算出 120o 弧、90o 弧以及 72o 弧所对应 的弦值(如图四)。有了这些弧所对应的弦值，接著就利用现在所称的”拖勒密定 理”，来推算两条已知所对弦长的弧的”和”与”差”所对的弦长，以及由一条 弧所对的弦长来计算这条弧的一半所对的弦长。正是基於这样一种几何上的推算。 他们终於造出了世界上第一张弦表。 补充:60 进制 60 进制以度为单位,将圆周分成 360 等份,每一份所对的圆心角叫做 1 度,1 度有 60 分,1 分 60 秒。在时间上,1 小时有 60 分,1 分 60 秒。这种 60 进制起源 於巴比伦是 1854 年由欣克斯(Edward Hincks,1792-1866) 研究泥板上的楔形文字 所发现的,这些泥板是公元前 2300-1600 年的遗物。Edward Hincks 是爱尔兰人, 以解读埃及的象形文字及巴比伦的楔形文字著称於世。 巴比伦人为什麼用 60 作为进位的基数呢？这是很有趣的问题，引起后人的 种种猜测。以下我就列举几个有趣的例子。 (1)数学史家 M.康托尔(Moritz Benedikt Cantor,1829-1920)曾认为他们最 初以 360 天为一年。将圆周分为 360 度,太阳就每天行一度。又圆内恰好可以连 续作 6 条等於半径长的弦,每一条弦所对的长是 60 度,基数 60 或者由此而来。但 根据考证,巴比伦人很早就知道太阳年是 365 日,太阴年(12 个月)是 354 或 355 日,因此这种假说很难成立。康托尔后来也放弃了这种说法。 (2)60 这个数字的选择是因为它是许多简单数字 2,3,4,5,6,10,12,……的 倍数,从而它的 1/2,1/3,1/4, 1/5,……都是整数,用起来比较方便。这种想法早 在希腊时代的赛翁就已指出,近年来又有 勒夫勒等人提倡。然而有人认为这是违 反历史事实的,因为记数制度不可能由某些学者为了”科学目的”自由创造出来, 而是悠久历史发展的结果。 (3)克维奇(G.Kewitsch)在 1904 年提出,当时两河流域有两个民族,1 个用 10 进制,一个用 6 进制。两种制度混合调和就形成 60 进制。10 进制是容易理解 的,因为人们用 10 个指头来计算,而 6 进制是用一只手来计算,5 个指头表示 1 至 5,握拳表示 6,6 以上,就要进位了。其实有几种意见认为是和指算有关。用手 指计算的确在某些地区和年代流行过,甚至在近代也是如此。像我国也有”掐指 一算”的说法。 总之,对於基数 60 的起源,至今还没有一致公认的看法。中国在殷商时代 (公元前 16-11 世纪),就开始用干支纪日、纪年，从甲子起,60 一个循环,周而复 始,叫做六十花甲子。可以说和巴比伦异曲同工,不过没有发展为进位值。 希伯诸斯据说曾编著了第一个三角函数表，这个成就使他赢得了「三角学 之父」的称谓。 三角函数的系统化与规范化 雷基奥蒙坦纳斯是十五世纪最有声望的德国数学家约翰·谬勒的笔名。他生 于哥尼斯堡，年轻时就积极从事欧洲文艺复兴时期作品的收集和翻译工作，并热 心出版古希腊和阿拉伯著作。因此对阿拉伯数学家们在三角方面的工作比较了解。三角函数 1464 年，他以雷基奥蒙坦纳斯的名字发表了《论各种三角形》。在 书中，他把以往散见在各种书上的三角学知识，系统地综合了起来，成了三角学 在数学上的一个分支。 在该著作中，雷基奥蒙坦正式提出 sine（正弦）一词。而 cosine（余弦） 则为英国人根日尔首先使用，最早在 1620 年伦敦出版的他所著的《炮兵测量学》 中出现。 1626 年，阿贝尔特·格洛德最早推出简写的三角符号：“sin”、“tan”。1675 年，英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：“cos”。但直到 1748 年，经 过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，并被定格为现在的形式。