选修2-2《1.3.1 单调性》.doc

教学目标： 1．正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2．掌握利用导数判断函数单调性的方法． 教学重点： 利用导数判断函数单调性． 教学过程： 一、问题情境 1．问题情境． 怎样利用函数单调性的定义来讨论其在定义域的单调性？ 2．探究活动． 由定义证明函数的单调性的一般步骤是什么？ 二、建构数学 1．函数的导数与函数的单调性的关系： 我们已经知道，曲线 y＝f(x)的切线的斜率就是函数 y＝f(x)的导数．从函数 的图象 可以看到： y＝f(x)＝x2－4x＋3 切线的斜率 f ′(x) (2，＋∞) 增函数 正 ＞0 (－∞，2) 减函数 负 ＜0 2 4 3y x x＝ － ＋在区间（2，＋∞）内，切线的斜率为正，函数 y＝f(x)的值随着 x 的增大而增 大，即 y ′＞0 时，函数 y＝f(x)在区间（2，＋∞）内为增函数；在区间（－∞，2） 内，切线的斜率为负，函数 y＝f(x)的值随着 x 的增大而减小，即 y′＜0 时，函数 y＝ f(x)在区间（－∞，2）内为减函数． 定义：一般地，设函数 y＝f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内，有 y ′＞0，那么函数 y＝f(x)为在这个区间内的增函数；如果在这个区间内 y ′＜0，那么 函数 y＝f(x)为在这个区间内的减函数． 2．用导数求函数单调区间的步骤： ①求函数 f(x)的导数 ． ②令 ＞0 解不等式，得 的范围就是递增区间． ③令 ＜0 解不等式，得 的范围就是递减区间． 三、数学运用 例 1　确定函数 f(x)＝2x3－6x2＋7 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函 数． 解　f ′(x)＝(2x3－6x2＋7)′＝6x2－12x 令 6x2－12x＞0，解得 x＞2 或 x＜0 ∴当 x∈(－∞，0)时，f ′(x)＞0，f(x)是增函数． 当 x∈(2，＋∞)时，f ′(x)＞0，f(x)是增函数． 令 6x2－12x＜0，解得 0＜x＜2． ∴当 x∈(0，2)时，f ′(x)＜0，f(x)是减函数． 例 2　已知函数 y＝x＋ ，试 讨论出此函数的单调区间． 21 f x( ) = 2⋅x3-6⋅x2 ( )+7 xO y ( )f x′ ( )f x′ x ( )f x′ x x 1解　法一：(用定义的方法) 法二：(用导数方法) 点评　用导数方法判别或证明函数在给定区间上的单调性，相对于用定义法 解决单调性问题是十分简捷的；用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的 优越性． 练习 1．确定下列函数的单调区间 （1）y＝x3－9x2＋24x （2）y＝x－x3 2．讨论二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的单调区间． 3．求下列函数的单调区间（1）y＝ （2）y＝ （3）y＝ ＋ x． 四、回顾小结 f(x)在某区间内可导，可以根据 f ′(x)＞0 或 f ′(x)＜0 求函数的单调区间，或判 断 函数的单调性，或证明不等式．以及当 f ′(x)＝0 在某个区间上，那么 f(x)在这个 区间上是常数函数． 五、课外作业 课本第29页第1，2，3题． -2 2 -1 1 f x( ) = x+1 x xO y 2x x ＋ 2 9 x x － x