教学目标：
1．理解极大值、极小值的概念．
2．能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值．
3．掌握求可导函数的极值的步骤．
教学重点：
极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤．
教学过程：
一、问题情境
1．问题情境．
函数的导数与函数的单调性的关系是什么？
设函数 y＝f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内 y′＞0，那么函数 y＝f(x)
为在这个区间内的增函数；如果在这个区间内 y′＜0，那么函数 y＝f(x)为在这个区
间内的减函数．
2．探究活动．
用导数求函数单调区间的步骤是什么？
（1）函数 f(x)的导数 ．
（2）令 ＞0 解不等式，得 x 的范围就是递增区间．
（3）令 ＜0 解不等式，得 x 的范围就是递减区间．
二、建构数学
1．极大值：一般地，设函数 f(x)在点 x0 附近有定义，如果对 x0 附近的所
有的点都有 f(x)＜f(x0)，就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值，记作 y 极大值＝f(x0)，
x0 是极大值点．
2．极小值：一般地，设函数 f(x)在 x0 附近有定义，如果对 x0 附近的所有的
点，都有 f(x)＞f(x0)，就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值，记作 y 极小值＝f(x0)，x0
( )f x′
( )f x′
( )f x′是极小值点．
3．极大值与极小值统称为极值．
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函
数值，请注意以下几点：
（1）极值是一个局部的概念定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函
数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．
（2）函数的极值不是惟一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极
小值可以不止一个．
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于
极小值，如下图所示， 是极大值点， 是极小值点，而 ＞ ．
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而
使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
4．判别 f(x0)是极大、极小值的方法．
若 满足 ，且在 的两侧 的导数异号，则 是 的极值点，
是极值，并且如果 在 两侧满足“左正右负”，则 是 的极大值
点， 是极大值；如果 在 两侧满足“左负右正”，则 是 的极小
值点， 是极小值．
5．求可导函数 f(x)的极值的步骤：
(1)确定函数的定义区间，求导数 ．
1x 4x )( 4xf )( 1xf
0x 0( ) 0f x′ ＝ 0x )(xf 0x )(xf
)( 0xf )(xf ′ 0x 0x )(xf
)( 0xf )(xf ′ 0x 0x )(xf
)( 0xf
( )f x′(2)求方程 ＝0 的根．
(3)用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列
成表格．检查 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根
处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改
变符号，那么 f(x)在这个根处无极值．
三、数学运用
例 1 求 f（x）＝x２－x－2 的极值．
例 2 求 y＝ x3－4x＋ 的极值．
求极值的具体步骤：
第一，求导数 ；第二，令 ＝0，求方程的根；第三，列表，检查
在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如
果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值，如果左右都是正，或者左右都是
负，那么 f(x)在这根处无极值．
练习
1．求下列函数的极值．
（1） ；
（2） ．
探索 若寻找可导函数极值点，可否只由 f′(x)＝0 求得即可？如 x＝0 是否为
函数 的极值点？
四、回顾小结
函数的极大、极小值的定义以及判别方法，求可导函数 f(x)的极值的三个步
骤，还有要弄清函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在整个定义
区间可能有多个极值，且要在这点处连续．可导函数极值点的导数为 0，但导数为
零的点不一定是极值点，要看这点两侧的导数是否异号．函数的不可导点可能是
极值点．
五、课外作业
( )f x′
( )f x′
3
1
3
1
( )f x′ ( )f x′ ( )f x′
1y xx
＝ ＋
3 28 12 6 1y x x x＝ － ＋ ＋
3( )f x x＝1．课本第31页第1，3题．
2．补充．
1．求下列函数的极值．
(1)y＝x2－7x＋6 (2)y＝x3－27x
2．思考题极值和最值的区别与联系？
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