教学目标：
1．使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数 f(x)在闭区间
上所有点（包括端点 a，b）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；
2．使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤 ．
教学重点：
利用导数求函数的最大值和最小值的方法．
教学过程：
一、问题情境
1．问题情境．
函数极值的定义是什么？
2．探究活动．
求函数 f(x)的极值的步骤．
二、建构数学
1．函数的最大值和最小值．
观察图中一个定义在闭区间上的函数 f(x)的图象．图中 f(x1)与 f(x3)是极小值，
f(x2)是极大值．函数 f(x)在上的最大值是 f(b)，最小值是 f(x3)．
一般地，在闭区间上连续的函数 f(x)在上必有最大值与最小值．
说明：
（1）在开区间(a， b)内连续的函数 f(x)不一定有最大值与最小值．如函数
在(0，＋∞)内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极
1( )f x x
＝值点附近函数值得出的．
（3）函数 f(x)在闭区间上连续，是 f(x)在闭区间上有最大值与最小值的充分
条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可
能不止一个，也可能没有一个．
2．利用导数求函数的最值步骤：
由上面函数 f(x)的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端
点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数 f(x)在上连续，在(a，b)内可导，则求 f(x)在 上的最大值与最小值的
步骤如下：
（1）求 f(x)在(a，b)内的极值；
（2）将 f(x)的各极值与 f(a)、f(b)比较得出函数 f(x)在上的最值．
三、数学运用
例 1 求函数 f(x)＝x2－4x＋3 在区间内的最大值和最小值．
例 2 求函数 f(x)＝ x＋sinx 在区间上的最值．
注 在实际问题中，若函数只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是
最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．
练习
设 f(x)＝ax3－6ax2＋b 在区间［－1，2］上的最大值为 3，最小值为－29，且
a＞b，求 a，b 的值．
四、回顾小结
（1）函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数
不存在的点，区间端点；
（2）函数 f(x)在闭区间上连续，是 f(x)在闭区间上有最大值与最小值的充分
条件而非必要条件；
（3）闭区间上的连续函数一定有最值；开区间(a，b)内的可导函数不一定有
最值，若有惟一的极值，则此极值必是函数的最值．
五、课外作业
1．课本第33页第2，3，4题．
1
22．补充．
求函数 y＝ x4＋ x3＋ x2 在区间 上的最值．1
4
1
3
1
2
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