选修2-2《2.1.1 合情推理（1）》.doc

教学目标： 1．了解归纳推理的概念和归纳推理的作用． 2．掌握归纳推理的一般步骤． 3．能利用归纳进行一些简单的推理． 教学重点： 了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理． 教学难点： 用归纳进行推理，做出猜想． 教学过程： 一、创设情境 从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理． 任何推理都包含前提和结论两个部分，前提是推理所依据的命题，它告诉我 们已知的知识是什么；结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什 么．下面我们来看 3 个推理案例： 案例 1　前提　当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ． 11，11，13，17，23， 31 都是质数． 结论 对于所有的自然数 n， 的值都是质数． 案例 2 前提 矩形的对角线的平方等于长、宽的平方和． 结论 长方体的对角线的平方等于长、宽、高的平方和． 案例 3 前提 所有的金属都能导电，铜是金属． 结论 铜能导电． 三个推理案例的共同点是它们都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是 在推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可以分为合情推理与演绎推理． 0n＝ 2 11 11n n－ ＋ ＝ 1n＝ 2 11 11n n－ ＋ ＝ 2n＝ 2 11 13n n－ ＋ ＝ 3n＝ 2 11 17n n－ ＋ ＝ 4n＝ 2 11 23n n－ ＋ ＝ 5n＝ 2 11 31n n－ ＋ ＝ 2 11n n－ ＋二、构建新知 在案例 1 中，由“对自然数 的几个特殊值， 都是质数”，推出“对 所有自然数 n， 都是质数．”我们再看几个类似的推理实例： 1．蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼 吸的． 因为蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所以我们猜想所有的爬行动物都 是用肺呼吸的． 2．三角形的内角和是 ，凸四边形的内角和是 ，凸五边形的内角和是 ． 归纳推理的一般步骤： （1）对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； （2）提出带有规律性的结论，即猜想； （3）检验猜想． 归纳推理的思维过程： 　　 三、数学运用 例 1　已知数列{an}的每一项均为正数， ，试归 纳出数列{an}的一个通项公式． 分析　学生通过具体的：当 时， ，当 时， ，当 时， ． 由此我们猜想{an}的一个通项公式为 ． n 2 11n n－ ＋ 2 11n n－ ＋ 180° 360° 540° 2 2 1 11 1( 1 2 )n na a a n＋＝， ＝ ＋ ＝， ， 1n＝ 1 1a＝ 2n＝ 2 2 1 1 2a a＝ ＋＝ 3n＝ 2 2 2 1 3a a＝ ＋＝ na n＝ 实验，观察 概括，推广 猜测一般性结论例 2　已知数列{an}的通项公式 ， ． 试通过计算 的值，推测出 的值． 分析　学生讨论结果预测如下： 由此猜想， 四、学生探究 1．已知 ，经计算： ， ， ， ， ，推测当 时，有 _______________________． 2．已知： ， ． 观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并证明之． 3．观察（1） ． （2） ． 由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论． 五、课堂总结 1．归纳推理的特点： （1）归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提 所包容的范围． （2）归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结 论具有猜测性． （3）归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础 2 1 ( )( 1)na nn +N＝ ∈＋ 1 2( ) (1 )(1 ) (1 )nf n a a a⋅⋅⋅＝ － － － (1) (2) (3)f f f， ， ( )f n 1 1 3(1) 1 1 4 4f a＝－ ＝－ ＝ 1 2 1 3 8 2 4(2) (1 )(1 ) (1) (1 ) )9 4 9 3 6f a a f ⋅ ⋅＝ － － ＝ － ＝ ＝ ＝ 1 2 3 1 2 15 5(3) (1 )(1 )(1 ) (2) (1 )16 3 16 8f a a a f ⋅ ⋅＝ － － － ＝ － ＝ ＝ 2( ) 2( 1) nf n n ＋＝ ＋ 1 1 1( ) 1 ( )2 3f n nn +⋅⋅⋅ N＝＋ ＋ ＋ ＋ ∈ 3(2) 2f ＝ (4) 2f ＞ 5(8) 2f ＞ (16) 3f ＞ 7(32) 2f ＞ 2n≥ 2 2 2 3sin 30 sin 90 sin 150 2 ＋ ＋ ＝   2 2 2 3sin 5 sin 65 sin 125 2 ＋ ＋ ＝   tan10 tan 20 tan 20 tan 60 tan 60 tan10 1＋ ＋ ＝      tan5 tan10 tan10 tan 75 tan 75 tan5 1＋ ＋ ＝     之上． 提出带有规律性的结论． （4）归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理．通常归纳的个体数目 越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性 规律的重要方法． 2．归纳推理的一般步骤： （1）通过观察个别情况发现某些相同的性质． （2）从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）． 六、课后作业 教材第 66 页练习第 2 题，第 3 题，第 4 题，第 5 题．