教学目标：
1．了解类比推理的概念和归纳推理的作用，懂得类比推理与归纳推理的区别
与联系．
2．掌握类比推理的一般步骤．
3．能利用类比进行一些简单的推理．
教学重点：
了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理．
教学难点：
用类比进行推理，做出猜想．
教学过程：
一、 复习引入：
1. 什么叫推理？推理由哪几部分组成？
2. 合情推理的主要形式有 ．
3. 归纳推理是从 事实中概括出 结论的一种推理模
式．
4. 归纳推理的特点: ．
5． ， ， ，…， （a，b
均为实数），请推测 a＝ b＝ ．
二、创设情境
在案例 2 中，由矩形对角线的某一性质，推出长方体的对角线具有类似的性
质．这个推理过程是归纳推理吗？
我们再看几个类似的推理实例：
1．据传，春秋时代鲁国的公输班受到路边的齿形草能割破行人的腿的启发，
发明了锯子．他的思维过程可能为：齿形草能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开
木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是
2 22 23 3
＋ ＝ 3 33 38 8
＋ ＝ 4 44 415 15
＋ ＝ 6 6a a
b b
＋ ＝齿形的．
2．试根据等式的性质猜想不等式的性质．
等式与不等式有不少相似的属性，例如：
三、构建新知
上述几个例子均是根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，
推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理（reasoning
by analogy），简称类比法．
类比推理的一般步骤：
（1）找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
（2）用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
（3）检验猜想，归纳推理的思维过程：
类似推理的思维过程：
四、数学运用
例 1 （G.波利亚的类比）类比实数的加法与乘法，并列出它们类似的性
质．
解 在实数的加法与乘法之间，可以建立如下的对应关系：
加（＋） 乘（×）
加数、被加数 乘数、被乘数
和 积
等等，它们具有下列类似的性质：
实验，观察 概括，推广 猜测一般性结论表 2-1-2
加法的性质 乘法的性质
例 2 试将平面上的圆与空间的球进行类比．
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合．
球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合．
圆 截面圆
弦 大圆
直径周长 表面积
圆面积 球体积
五、学生探究
1．类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．
2．若数列{an}为等差数列，且 ，则
．现已知数列{bn}(bn＞0，n∈N＋)为等比数列，且 ，
圆的性质 球的性质
圆心与弦(不是直径)的中点
的连线垂直于弦
球心与截面圆(不是大圆)的
圆点的连线垂直于截面圆
与圆心距离相等的两弦相等；
与圆心距离不等的两弦不等，距圆
心较近的弦较长
与球心距离相等的两截面圆
相等；与球心距离不等的两截面圆
不等，距球心较近的截面圆较大
圆的切线垂直于过切点的半
径；经过圆心且垂直于切线的直线
必经过切点
球的切面垂直于过切点的半
径；经过球心且垂直于切面的直线
必经过切点
经过切点且垂直于切线的直
线必经过圆心
经过切点且垂直于切面的直
线必经过球心
a b b a＋ ＝ ＋ ab ba＝
( ) ( )a b c a b c＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ( ) ( )ab c a bc＝
( ) 0a a＋ － ＝ 1( ) 1a a× ＝
0a a＋ ＝ 1a a× ＝
( )m na x a y m n m n N+＝ ， ＝ ≠ ， ， ∈
m n
mx nya m n＋
－＝ － mb x＝ nb y＝类比以上结论，可得到什么结论？你能说明结论的正确性吗？
六、课堂总结
1．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质．类
比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比
得出的结论就越可靠．
2．类比推理的一般步骤：
（1）找出两类事物之间的相似性或者一致性．
（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜
想）．
七、课后作业
教材第 68 页练习第 1 题，第 2 题，第 3 题，第 4 题．
( )m n m n +N≠ ， ， ∈
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