教学目标：
1．了解归纳推理的概念和归纳推理的作用，了解演绎推理与合情推理的区别
与联系．
2．掌握归纳推理的一般步骤．
3．能利用归纳进行一些简单的推理．
教学重点：
了解演绎推理的含义，能利用演绎推理进行简单的推理．
教学难点：
了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别．
教学过程：
一、 创设情境
在数学学习中，除了合情推理，我们更多使用的是一种由一般性的命题推演
出特殊性命题的推理方法．例如，在案例 3 中，“铜能导电”的结论就是通过如下
推理 得到的：
所有的金属都能导电，
铜是金属，
所以，铜能导电．
我们再看一个类似的推理案例．
在学习整数时，有下面的推理：
个位数字是 0 或 5 的正整数必是 5 的倍数，
2 375 的个位数字是 5，
所以，2 375 是 5 的倍数．
二、构建新知
像这样的推理通常称为演绎推理（deductive inference）．三段论式推理是演绎
推理的主要形式，常用的格式为：
M — P（M 是 P）S — M（S 是 M）
S — P（S 是 P）
三段论推理的依据，用集合的观点来理解：若集合 M 的所有元素都具有性质 P，S
是 M 的一个子集，那么 S 中所有元素也都具有性质 P．
三、数学运用
例 1 △ABC 中，D，E，F 分别是 BC，CA，AB 上的点，∠BFD＝∠A，
，求证： ．
分析 （1）同位角相等，两直线平行， （大前提）
与 是同位角，且 ， （小前提）
所以， ． （结 论）
（2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形， （大前提）
，且 ， （小前提）
所以，四边形 为平行四边形． （结 论）
（3） 平行四边形的对边相等， （大前提）
和 为平等四边形的对边， （小前提）
所以， ． （结 论）
上面的证明通常简略地表述为：
四边形 是平行四边形 ．
例 2 已知 a，b，m 均为正实数， ，求证： ．
/ /DE BA AFED =
BFD∠ A∠ BFD A∠ ∠＝
EADF //
BADE // EADF //
AFDE
ED AF
ED AF＝
/ /
/ /
BFD A DF EA
DE BA
∠ ∠ ⇒ ⇒
＝
AFDE ED AF⇒ ＝
b a＜ b b m
a a m
＋＜ ＋分析
又 ．
证明过程包含了几个三段论？
例 3 在锐角三角形 ABC 中，AD⊥BC， BE⊥AC，D，E 是垂足，
求证：AB 的中点 M 到 D，E 的距离相等．
分析 （1）因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形 ——大前提
在△ABC 中，AD⊥BC，即∠ADB＝90° ——小前提
所以△ABD 是直角三角形 ——结论
（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ——大前提
因为 DM 是直角三角形斜边上的中线 ——小前提
所以 DM＝ AB ——结论
同理 EM＝AB，所以 DM＝EM．
四、学生探究
1．下列表述正确的是 ．
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③
演绎 推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推
理是由特殊到特殊的推理．
2．把下列演绎推理写成“三段论”的形式．
（1）三角函数都是周期函数，y＝tanx 是三角函数，所以 y＝tanx 是周期函
数．
（2）一切奇数都不能被 2 整除，（2100＋1）是奇数，所以（2100＋1）不能
被 2 整除．
五、课堂总结
1．演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特
殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．
2．在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推
理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格证明
0
b a mb mam
⇒
＜ ＜＞ ab mb ab ma⇒ ＋ ＜ ＋
( ) ( )
( ) 0
b a m a b m
a a m
⇒
＋ ＜ ＋
＋ ＞
( ) ( )
( ) ( )
b a m a b m
a a m a a m
⇒ ＋ ＋＜＋ ＋
b b m
a a m
⇒ ＋＜ ＋
2
1的工具．
3．演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰、
令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．
六、课后作业
教材第 72 页练习 3，5．
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