2.4 平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
一、教学分析
前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些几何
元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?
如果能,运算结果应该是什么呢?另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的
基本量.我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知,向量
概念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力 F 的作用下产
生位移 s(如图 1),那么力 F 所做的功
图 1
W=|F||s|cosθ
功 W 是一个数量,其中既涉及“长度”,也涉及“角”,而且只与向量 F,s 有关.熟悉的数的运算启发
我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义
a·b=|a||b|cosθ.
这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它来更
加简洁地表述几何中的许多结果.
向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理
意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量.
二、教学目标
1、知识与技能：
掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解
用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；掌握向量垂直的条件。
2、过程与方法：
通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的
数量积与向量投影的关系。
3、情感态度与价值观：
通过与物理中“功”的类比抽象出向量的数量积，培养学生的抽象概括能力。
三、重点难点
教学重点:平面向量数量积的定义.
教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用.
四、教学设想
（一）导入新课
思路 1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等
概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向
量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰,并且向量知识不仅是解决物理
许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些
物理现象都可以用向量来研究.
在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s,那么力 F 所做的
功 W 可由下式计算:
W=|F||s|cosθ
其中 θ 是 F 与 s 的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量).
故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念.
思路 2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算,并且两个向量的和与差仍是一
个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算,就自然地会想到,
任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①a·b 的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么?
②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运
算,它是否满足实数的乘法运算律？
③我们知道,对任意 a,b∈R,恒有(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2.对任意向量 a、b,是否
也有下面类似的结论?
(1)(a+b)2=a2+2a·b+b2;
(2)(a+b)·(a-b)=a2-b2.
活动:已知两个非零向量 a 与 b,我们把数量|a||b|cosθ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积),记作
a·b,即
a·b=|a||b|cosθ(0≤θ≤π).
其中 θ 是 a 与 b 的夹角,|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上)的投影.如图
2 为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是 0°≤θ≤180°.
图 2
在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意:
(1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的
余弦的乘积;
(2)零向量与任一向量的数量积为 0,即 a·0=0;
(3)符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替;
(4)当 0≤θ< 时 cosθ>0,从而 a·b>0;当
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