高一数学人教A版必修四教案：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（2） Word版含答案.doc

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)教案 教学分析 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究 具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、 比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较 cos(α-β)与 cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换 元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式 C(α-β)推得公式 C(α+β)， 又如比较 sin(α-β)与 cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函 数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式 S(α-β)、S(α+β)等. 2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与 这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本 节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能 力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义. 3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深 刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练 学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯 进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公 式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而 不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的. 二、三维目标 1．知识与技能： 在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、 正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学 生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力. 2．过程与方法： 通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使 学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题 解决问题的能力. 3．情感态度与价值观： 通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应 用意识，提高学生的数学素质. 三、重点难点 教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导. 教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明. 四、课时安排 2 课时 五、教学设想 （一）导入新课 思路 1.(复习导入)让学生回忆上节课所学的六个公式，并回忆公式的来龙去脉，然后 让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯.教师引导学生回顾比较各公式的结构特征，说 出它们的区别和联系，以及公式的正用、逆用及变形用，以利于对公式的深刻理解.这节课 我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用. 思路 2.(问题导入)教师可打出幻灯，出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答. 1.化简下列各式 (1)cos（α＋β）cosβ＋sin（α＋β）sinβ; (2) ; (3) 2.证明下列各式 (1) (2)tan（α＋β）tan（α-β）（1-tan2tan2β）＝tan2α-tan2β; (3) 答案:1.(1)cosα;(2)0;(3)1. 2.证明略. 教师根据学生的解答情况进行一一点拨，并对上节课所学的六个公式进行回顾复习，由 此展开新课. （二）推进新课、新知探究、提出问题 ①请同学们回忆这一段时间我们一起所学的和、差角公式. ②请同学们回顾两角和与差公式的区别与联系，可从推导体系中思考. 活动：待学生稍做回顾后，教师打出幻灯，出示和与差角公式，让学生进一步在直观上 发现它们内在的区别与联系，理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用，更要体会由特殊 到一般的数学思想方法.教师引导学生观察，当α、β中有一个角为 90°时，公式就变成诱 导公式，所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例.在应用公式时，还要注意 角的相对性，如α=(α+β)-β, 等.让学生在整个的数学体系 中学会数学知识，学会数学方法，更重要的是学会发现问题的方法，以及善于发现规律及其 内在联系的良好习惯，提高数学素养. sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ〔Ｓ（α±β）〕; cos（α±β）＝cosαcosβsinαsinβ〔C（α±β）〕; tan（α±β）＝ 〔T（α±β）〕. 讨论结果：略. （三）应用示例 思路 1 例 1 利用和差角公式计算下列各式的值. （1）sin72°cos42°-cos72°sin42°; （2）cos20°cos70°-sin20°sin70°; cossin1tan cossin cossin sin 2 2 −−− +−− xx xx xx x .tan tan cossin )sin()sin( 2 2 22 α β βα βαβα +−+ ;tantan1 tantan )cos( )sin( βα βα βα βα + +=− + .sin sin)cos(2sin )2sin( α ββαα βα =+−+ )2()2(2 βαβαβα −−−=+ βα βα tantan1 tantan  ±（3） 活动：本例实际上是公式的逆用，主要用来熟悉公式，可由学生自己完成.对部分学生， 教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点，再对比公式右边，马上发现（1）同公式 S(α-β)的右边，（2）同公式 C(α+β)右边形式一致，学生自然想到公式的逆用，从而化成特殊 角的三角函数，并求得结果.再看（3）式与 T(α+β)右边形式相近，但需要进行一定的变形. 又因为 tan45°=1，原式化为 ，再逆用公式 T(α+β)即可解得. 解：（1）由公式 S(α-β)得 原式=sin(72°-42°)=sin30°= . （2）由公式 C(α+β)得 原式=cos(20°+70°)=cos90°=0. （3）由公式 T(α+β)得 原式= =tan(45°+15°)=tan60°= . 点评：本例体现了对公式的全面理解，要求学生能够从正、反两个角度使用公式.与正 用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向思维意识，对思维的灵活性 要求也高，而且对公式要有更全面深刻的理解. 变式训练 1.化简求值： （1）cos44°sin14°-sin44°cos14°; （2）sin14°cos16°+sin76°cos74°; （3）sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x). 解：（1）原式=sin(14°-44°)=sin(-30°)=-sin30°= . （2）原式=sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin(14°+16°)=sin30°= . （3）原式=sin［(54°-x)+(36°+x)］=sin90°=1. 2.计算 解：原式= =tan(45°-75°)=tan(-30°)=-tan30°= . 例 2已知函数 f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)的定义域为 R,设θ∈［0,2π］,若 f(x)为偶函数, 求θ的值. 活动:本例是一道各地常用的、基础性较强的综合性统考题,其难度较小,只需利用偶函 数的定义,加上本节学到的两角和与差的三角公式展开即可,但不容易得到满分.教师可先让 学生自己探究,独立完成,然后教师进行点评.   15tan1 15tan1 − +   15tan45tan1 15tan45tan − + 2 1   15tan45tan1 15tan45tan − + 3 2 1− 2 1 .75tan1 75tan1   + −   75tan45tan1 75tan45tan + − 3 3−解:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x), 即 sin(-x+θ)+cos(-x-θ)=sin(x+θ)+cos(x-θ), 即-sinxcosθ+cosxsinθ+cosxcosθ-sinxsinθ =sinxcosθ+cosxsinθ+cosxcosθ+sinxsinθ. ∴sinxcosθ+sinxsinθ=0. ∴sinx(sinθ+cosθ)=0 对任意 x 都成立. ∴ sin(θ+ )=0,即 sin(θ+ )=0. ∴θ+ =kπ(k∈Z).∴θ=kπ- (k∈Z). 又θ∈［0,2π),∴θ= 或θ= . 点评:本例学生可能会根据偶函数的定义利用特殊值来求解.教师应提醒学生注意,如果 将本例变为选择或填空,可利用特殊值快速解题,作为解答题利用特殊值是不严密的,以此训 练学生逻辑思维能力. 变式训练 已知：