数学故事：通信网络

通信网络 这是一个真实的故事。 20 世纪 80 年代某一天，美国著名的贝尔电话公司遇到了一件怪事：被要求 在一片荒芜人烟的沼泽地上安装一部电话。 事情是北卡罗琳那大学提出来的。这所 大学有三个分校，位于一个等边三角形的三 个顶点上。按照贝尔电话公司的收费标准， 如要在三校之间安装直接可以联络的电话网， 需要按三角形的两个较短边长度之和收费。现 在，大学向贝尔公司提出，要在等边三角形的中心装一部电话，然后将中心和三 顶点相连。依照规定，这时的电话费按中心到三顶点连线长度之和收费。假定三 角形的边长是 1，那么原来要按长度 2 交电话费，而在中心的沼泽地上安装电话 之后，只需按 交费了。 贝尔电话公司的研究部主任意识到，北卡罗琳那大学的能人在向公司挑战。 沼泽地上安装电话需要花费人力物力，到头来却少收电话费，岂不是赔了夫人又 折兵？于是赶紧与北卡罗琳那大学打招呼，沼泽地的电话不装了，电话费照原来 的八五折收费，大约和 差不多。同时，主任连忙提出一个研究课题：看看贝 尔电话公司的收费标准中是否还有别的空子可钻？打八五折收费是否已到了极 限？这一研究任务落在一个中国访问学者——来自中国科学院应用数学研究所 的堵丁柱的身上。经过一段时间的努力，堵丁柱终于证明：按通信网络中的现行 收费标准，不论如何安装新电话，减少收费的比例不会低于 。 堵丁柱的数学工作，直接成为公司进行决策的一种数学技术。 3 3 2 3 2明安图 明安图（公元约 1692——约 1764），中国清代数学家、天文学家，字静庵。 蒙古族正白旗人。明安图在数学上有很深的造诣，特别是对三角函数问题，进行 了深入研究，获得了丰硕成果。 明安图的数学成就总结在《割圆密率捷法》一书 中。该书共四卷，卷一“步法”，罗列了所得到的各 无穷级数公式，卷二“用法”，系各公式在数学和天 文学问题上的应用，卷三、四为“法解”上、下，阐 述了各公式的证明方法。这部著作在他生前只完成一 部分，后由其学生陈际新、张肱，其子明新续成（1774）。 他的成就和所创立的方法，对于清代幂级数研究领域产 明安图 生了很大影响。明安图在测绘地图方面也有重要贡献， 乾隆二十一年（1756）和二十四年（1759），他两次亲往新疆测绘地图，完成了 准葛尔地区和天山南部地区的测量与绘图任务。著名的《乾隆内府與图》就是在 《康熙皇與全图》和这两次实地测量的基础上绘制而成的。测量宇宙的“量天尺” 古人很早就学会利用三角关系来进行测量了。据《史记•夏本纪》记载，大 禹就曾利用三角形的各边之间的关系测量山川地势。在泰勒斯利用太阳的影子测 量金字塔的高度，使埃及法老大为震惊的故事里，也用到了三角关系。但是，严 格来说，上述这些测量还不是真正的三角学，因为它没有把角的因素考虑进去， 而三角学是离不开“角”的。 夜空之中，繁星点点，它们看上去似乎离我们很近，但事实上，这些星星离 我们是非常遥远的。后来，通过测量，特别是三角测距法的成功使用，我们终于 知道了宇宙的大小远远超过古人的估计。 为了说明星星距离我们有多远，我们先把神通广大的孙悟空请来。孙悟空一 个筋斗能翻十万八千里，比人类制造的最快的宇宙飞船还要快得多。如果孙悟空 连续不停地翻筋斗，那么从地球到月球大约只需要 翻 7 个筋斗，这对美猴王来说自然是“小菜一碟”； 而从地球翻到太阳可就没那么快了，要 2770 多次。 除了太阳之外，离地球最近的恒星是比邻星，距离 地球 4.22 光年，也就是说每秒跑 30 万千米的光也 要 4 年多才能跑完这个距离。换了孙悟空，要翻 7.3 亿多个筋斗！即使每秒翻一次，仍需 20 多年，更 不用说人类的宇宙飞船了。这还只是太阳之外距离 地球最近的恒星呢，其他恒星还要远上万倍，甚至 亿倍呢。所以，“不算不知道，一算吓一跳”，宇宙实在太大了，远远超出古人的 想象。如果吴承恩今天在世，他是决不会让孙悟空一个筋斗只翻十万八千里的。 大家不仅要问，我们既然没有一把量天尺，这么遥远的距离究竟是怎样测出 来的呢？究竟准不准确呢？其实，测定恒星距离不仅是每个天文爱好者的问题， 对于天文学来说尤为重要，人们需要这些数据来研究天体、星系乃至宇宙的大小 和演化。 天文学家测定恒星距离有很多方法。他们将测量到的数据，代入公式计算出 距离。一种是物理学方法，比如通过测量恒星的光度；另一种是纯数学方法，通 过测定恒星的位置和角度。当然，这两种方法都离不开数学公式。刘徽《海岛算经》 刘徽，我国古代著名数学家，他于魏元帝景元四年 （263 年）注《九章算术》，撰有《重差》一卷，并自作注 解，又撰有《重差图》一卷。《重差》原附于《九章算术》之 终，到隋唐时代，将《重差》摘出，作为单行本，因其第一 问为“望海岛”，以后便改称为《海岛算经》。 《海岛算经》是我国古代测望术的一部专著，全书共有 九问，都是用表或矩的测望问题，其中两次测望者三问，三次测望者四问，四次 测望者四问。刘徽说：“度高者重表，测深者累矩，孤离者三望，离而又旁求者 四望触类而长之，则虽幽遐诡伏，靡所不入。”又说：“凡望极高，测绝深而兼 知其远者必用重差。”书中各问可能都是套用重差公式进行推算的。 刘徽在研究了中国古算第一书《九章算术》后，写下了《海岛算经》。其中 有这样一道题目： 今有望海岛，立两表与前表三相直（即两表与海岛顶峰 处在同一平面内）。从前表却行（后退）一百二十三步， 人目着地，取望岛峰，与表末三合（即眼睛、表的顶点、 岛峰三点共线），从后表却行一百二十七步，人目着地， 取望岛峰，亦与表末三合。问：岛高及去表（岛与前表 距离）各几何？ 此题的意思十分明显，尽管现在用相似和比例来做并 不困难，但在当时是很了不起的，它无须测出人或木杆 到被测物的距离（有时被测物是不可到达的）