圆幂定理.doc

圆幂定理 圆幂定理是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们 推论的统一与归纳。 • 发展历程 圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割 线定理推论）以及它们推论的统一与归纳。根据两条与圆相交的直线的不同位置， 有以下定理： 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两 条线段长的比例中项。 割线定理：从圆外一点 P 引两条割线与圆分别交于 A、B；C、D，则有 PA·PB=PC·PD 从上述定理可以看出，两条直线的位置从内到外，都有着相似的结论。经过总结 和归纳，便得出了圆幂定理。 • 定理内容 圆幂定义 圆幂定义：假设平面上有一圆 O，其半径为 R，有一点 P 在圆 O 外，则 即为 P 点到圆 O 的幂； 符号：圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。 定理内容 过任意不在圆上的一点 P 引两条直线 L1、L2，L1 与圆交于 A、B（可重合，即切 线），L2 与圆交于 C、D（可重合），则有 考虑经过 P 点与圆心 O 的直线，设 PO 交⊙O 与 M、N，R 为圆的半径，则有 • 定理证明 22 ROP − ( ) 22 ROPROPROPPNPMPDPCPBPA −=−+=×=×=×图Ⅰ：相交弦定理。如图，AB、CD 为圆 O 的两条任意弦。相交于点 P，连接 AD、 BC，由于∠B 与∠D 同为弧 AC 所对的圆周角，因此由圆周角定理知：∠B=∠D， 同理∠A=∠C，所以 所以有： ，即： 。 图Ⅱ：割线定理。如图，连接 AD、BC。可知∠B=∠D，又因为∠P 为公共角，所 以有 ，同上证得 。 图Ⅲ：切割线定理。如图，连接 AC、AD。∠PAC 为切线 PA 与弦 AC 组成的弦切 角，因此有∠PAC=∠D，又因为∠P 为公共角，所以有 ，易证 图Ⅳ：PA、PC 均为切线，则∠PAO=∠PCO=直角，在直角三角形中：OC=OA=R，PO 为公共边，因此 所以 PA=PC，所以 。 综上可知， 是普遍成立的。证明完毕。[