选修2-2《2.2.1 直接证明》.doc

教学目标： 1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：综合法；了解综合 法的思考过程、特点． 2．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合 法；了解分析法和综合法的思考过程、特点． 教学重点： 1．合法的证明过程和应用． 2．分析法的证明过程和应用． 教学过程： 一、预习 1．问题　如图，四边形 ABCD 是平行四边形． 求证：AB＝CD，BC＝DA． 证明 连接AC， 因为四边形ABCD是平行形四边形， 所以 ， 故　　∠1＝∠2，∠3＝∠4． 因为　AC＝CA， 所以　△ABC≌△CDA， 故　　AB＝CD，BC＝DA． 思考　以上证明方法有什么特点？ 上述证明是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的，这种证明通常称为直 接证明． DABCCDAB //// ，二、新课 1．定义． 直接证明：直接从原命题的条件逐步推得命题成立． 2．直接证明的一般形式． 思考：在《数学 5（必修）》中，我们如何证明基本不等式 ？ 证法 1 对于正数 a，b，有 ， 要证： ， 只要证： ， 只要证： ， 只要证： ， 因为最后一个不等式成立，故结论成立． 上述两种证法有什么异同？ 相同：都是直接证明． 不同 ：证法1 从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下 推，直到推出要证明的结论为止． 证法2　从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结 论成立的条件和已知条件吻合为止． 综合法和分析法的推证过程如下： 例 1　如图，已知 AB， CD 交于点 O， △ACO≌△BDO，AE＝BF， 本题结论 已知定理 已知公理 已知定义 本题条件 ⇒⇒        2 a bab ＋≤ ( 0 0)a b＞ ， ＞ 2 0 2 0 2 2 a ba b a b ab a b ab ab⇒ ⇒ ⇒ ＋－ ≥ ＋ － ≥ ＋ ≥ ≥（ ） 2 a bab ＋≤ 2 ab a b≤ ＋ 0 2a ab b≤ － ＋ 20 ( )a b≤ － 已知条件 结论⇒⇒⇒ 综合法 结论 ⇐ ⇐ ⇐  已知条件分析法求证：CE＝DF． 证法一：（综合法） 因为　△ACO≌△BDO， 所以　CO＝DO， AO＝BO， 因为　AE＝BF（已知）， 所以　EO＝FO， 所以　∠EOC＝∠FOD（对顶角相等）， 所以　△EOC≌△FOD， 所以　EC＝FD． 证法二：（分析法） 证 （分析法）要证明 CE＝FD，只需证明△EOC≌△FOD 为此只需证明 ， 为了证明　CO＝DO， 只需　△ACO≌△BDO， 为了证明　EO＝FO， 只需证明　AO＝BO（因为已知 AE＝BF ）， 也只需　△ACO≌△BDO（已知）， 因为　∠EOC 与∠FOD 是对顶角，所以它们相等， 从而　△EOC≌△FOD 成立，因此命题成立． 三、练习 1．若 a＞0，b＞0，求证： ． CO DO EOC FOD EO FO  ∠ ∠  ＝ ＝ ＝ 1 2 2a b ab ＋ ＋ ≥2．若│a│＜1，│b│＜1，求证： ． 3．△ABC 三边长 a，b，c 的倒数成等差数列，求证：∠B＜90°． 四、回顾小结 分析法 解题方向比较明确，利于寻找解题思路； 综合法 条理清晰，易于表述． 通常以分析法寻求思路，再用综合法有条理地表述解题过程． 五、作业 课本 P87 第 1，2，3，4 题． 11 a b ab ＋ ＜＋