选修2-2《2.2.2 间接证明》.doc

教学目标： 1．结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法； 2．了解反证法的思考过程、特点． 教学重点： 反证法的思考过程、特点． 教学难点： 反证法的思考过程、特点． 教学过程： 一、预习 1．问题：如图，四边形 ABCD 是平行四边形 求证：AB＝CD，BC＝DA． 在《数学 2（必修）》第三章中，如何证明“在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB 与 A1C 是异面直线”的？ 2．初中平面几何中有一个命题：“过在同一直线上的三点 A，B，C 不能作 圆”．如何证明？ A B CD3．定义：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证 明方法叫反证法． 即：欲证 p 则 q，证：p 且非 q（反证法）． 反证法的步骤： （1）______________________________________________________； （2）______________________________________________________； （3）______________________________________________________； 反证法：（1）反设（即假设） p 则 q（原命题） 反设 p 且非 q． （2）可能出现三种情况： ①导出非 p 为真——与题设矛盾． ②导出 q 为真——与反设中“非 q”矛盾． ③导出一个恒假命题——与公理、定理矛盾． 反设是反证法的基础，归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模 式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木．推理必须严谨．导 出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式 矛盾；与反设矛盾；自相矛盾． 二、例题精讲 例 1　求证：正弦函数没有比 2π 小的正周期． 证明　假设 T 是正弦函数的周期，则对任意实数 x 都有： ． 令 x＝0，得 即 T＝kπ，k∈Z，又 0＜T＜2π，故 T＝π， 从而对任意实数 x 都有 ，这与 ≠ 矛盾． 所以正弦函数没有比 2π 小的周期． 例 2　证明 不是有理数．（课本例 2）． 例 3　设 ，求证 ． 证明　假设 ，则有 ，从而 a3＞8－12b＋6b2－b3， a3＋b3 ＞6b2－12b＋8＝6(b－1)2＋2， 因为　6(b－1)2＋2 ≥2， sin( ) sinx T x＋ ＝ sin 0T＝ sin( π) sinx x＋ ＝ πsin( π)2 ＋ πsin 2 2 3 3 2a b＋ ＝ 2a b＋ ≤ 2a b＋ ＞ 2a b＞ －所以　a3＋b3＞2，这与题设条件 a3＋b3＝2 矛盾， 所以，原不等式 成立． 注意： 注意一　“否定所证结论”是反证法的第一步，它的正确与否直接影响能否 正确使用反证法． 否定结论的步骤是：①弄清结论本身的情况； ②找出结论的全部相反情况； ③正确地否定上述结论． 注意二　反证法中引出矛盾的结论，不是推理本身的错误，而是由于开始假 定“结论的反面是正确的”是错误的． 注意三　在反证法证题的过程中，经常画出某些不正确的图形，甚至是不可 能存在的图形，这样做的目的，是为了能清楚地说明问题．在证明过程中，每一 步推理所得结论的正确性，应完全由它所依据的理由来保证，而不能借助图形的 直观性，这与用直接证法借助图形的直观性找到证题的途径是不完全一样的． 注意四　用反证法证明命题时，若原命题结论的反面不惟一，这时要把每种 可能一一否定，不要遗漏． 三、巩固练习 1．课本 86 页的练习（1，2，3，4，5）． 2 ． 用 反 证 法 证 明 “ 如 果 ， 那 么 ”， 假 设 的 内 容 是 ______________． 3．用反证法证明：“ a＞b”． 应假设（a≤ b）． 4．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是 （假设至少有两个钝角）． 5．有关反证法中假设的作用，下面说法正确的是（ ）． A．由已知出发推出与假设矛盾 B．由假设出发推出与已知矛盾 C．由已知和假设出发推出矛盾 D．以上说法都不对 四、回顾小结　　 1． 反证法的步骤：①否定结论；②推理论证；③导出矛盾；④肯定结 论． 2a b＋ ≤ a b＞ 3 3a b＞2．反证法适用于证明“存在性，惟一性，至少有一个，至多有一个”等字样 的一些数学问题． 五、作业 课本 P87 第 8，9，10 题．