教学目标：
1．理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤．
2．通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证
明规律的途径．掌握从特殊到一般是应用的一种主要思想方法．
教学重点：
掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法．
教学难点：
能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
教学过程：
一、预习
1．问题：很多同学小时候都玩过这样的游戏，（教具摆设）就是一种码放砖
头的游戏，码放时保证任意相邻的两块砖头，若前一块砖头倒下，则一定导致后
一块砖头也倒下，这样只要推倒第一块砖头就会导致全部砖头都倒下（这种游戏
称为多米诺骨牌游戏）．
思考 这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
只要满足以下两个条件，所有的多米诺骨牌都能倒下：
（1）__________________________________________________；
（2）__________________________________________________．
思考 你认为条件（2）的作用是什么？
思考 如果条件（1）不要，能不能保证全部的骨牌都倒下？
2．我们知道对于数列{an}，已知 a1＝1，且 （n＝1，2，3…）通
过对 n＝1，2，3，4，前 4 项的归纳，我们可以猜想出其通项公式为 ，但归
纳推理得出的猜想不一定成立，必须通过严格的证明．
要证明这个猜想，同学们自然就会从 n＝5 开始一个个往下验证，当 n 较小时
可以逐个验证，但当 n 较大时，逐个验证起来会很麻烦，特别是证明 n 取所有正
1 1
n
n
n
aa a＋ ＝ ＋
1
na n
＝整数时，逐个验证是不可能的．能不能寻求一种方法，通过有限个步骤的推理，
证明 n 取所有正整数都成立．
思考？你认为证明数学的通项公式是 ，这个猜想与上述多米诺骨牌游戏
有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
多米诺骨牌游戏原理 通项公式 的证明方法
（1）第一块骨牌倒下． （1）当 n＝ 时，猜想成立
（2）若第 k 块倒下时，则相邻的
第 k＋1 块也倒下．
（2）若当 n＝ 时，猜想成立，
即 ，则当 n＝ 时，猜想也成
立，即 ．
根据（1）和（2），可知不论有多
少块骨牌，都能全部倒下．
根据（1）和（2），可知对任意的
正整数 n，猜想都成立．
证明：（1） ．
（2）假设 ，
3．小结．
数学归纳法的定义：
一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当 n 取第一个值 n0 时命题成立．
（2）（归纳递推）假设 n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当 n＝k＋1 时命
题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数都成立．
1
na n
＝
1
na n
＝上述证明方法叫做数学归纳法．
用框图表示为：
注 这两个步骤缺一不可，只完成步骤（1）而缺少步骤（2），就做出判断可
能得出不正确的结论，因为单靠步骤（1），无法递推下去，即 n 取 n0 以后的数时
命题是否正确，我们无法判定．同样，只有步骤（2）而缺少步骤（1），也可能得
出不正确的结论，缺少步骤（1）这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤（2）
也就没有意义了．
二、课堂训练
例 1 证明等差数列通项公式 an＝a1＋(n－1)d．
例 2 用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝ ．
例 3 用数学归纳法证明 12＋22＋32＋…＋n2＝ （n∈N*）．
练习：
用数学归纳法证明：－1＋3－5＋…＋(－1)n(2n－1)＝(－1)nn．
三、巩固练习
1．用数学归纳法证明：“ ”
在验证n＝1成立时，左边计算所得的结果是 ．
2．已知： ，则 等于 ．
3．用数学归纳法证明：1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝ ．
4．用数学归纳法证明： ．
四、小结
若 n＝k (k≥n 0)时命题成立，
证 明 n ＝ k ＋ 1 时 命 题 也 成
立．
验证 n＝n 0 时
命题成立．
命题对从 n0 从开始
所有的正整数 n 都成
立．
归纳奠基 归纳递推
2n
( 1)(2 1)
6
n n n＋ ＋
( )2
2 1 11 11
n
n aa a a a na +N
＋
＋ －＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ≠ ∈－ ，
1 1 1( ) 1 2 3 1f n n n n
⋅⋅⋅＝ ＋ ＋ ＋＋ ＋ ＋ ( 1)f k＋
1 ( 1)( 2)3 n n n＋ ＋
2 2 2 2 1 2 1 ( 1)1 2 3 4 ( 1) ( 1) 2
n n n nn－ － ＋－ ＋ － ＋ ＋ － ＝ －重点：两个步骤、一个结论；
注意：奠基基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．
五、作业
课本 P94 第 1，2，3 题．
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