1.1.2 弧度制
整体设计
教学分析
在物理学和日常生活中,一个量常常需要用不同的方法进行度量,不同的度量方法可以满
足我们不同的需要.现实生活中有许多计量单位,如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同
的单位制,度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制,度量角的大小可以用度为单位
进行度量,并且一度的角等于周角的 ,记作 1°.
通过类比引出弧度制,给出 1 弧度的定义,然后通过探究得到弧度数的绝对值公式,并得
出角度和弧度的换算方法.在此基础上,通过具体的例子,巩固所学概念和公式,进一步认识
引入弧度制的必要性.这样可以尽量自然地引入弧度制,并让学生在探究过程中,更好地形成
弧度的概念,建立角的集合与实数集的一一对应,为学习任意角的三角函数奠定基础.
通过探究讨论,关键弄清 1 弧度角的定义,使学生建立弧度的概念,理解弧度制的定义,达
到突破难点之目的.通过电教手段的直观性,使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可
靠性、可行性.通过周角的两种单位制的度量,得到角度与弧度的换算公式.使学生认识到角
度制、弧度制都是度量角的制度,二者虽单位不同,但却是互相联系、辩证统一的.进一步加
强对辩证统一思想的理解,渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点.
三维目标
1.通过类比长度、重量的不同度量制,使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量,从
而引出弧度制.
2.通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度,通过总结引入弧度制的好
处,学会归纳整理并认识到任何新知识的学习,都会为解决实际问题带来方便,从而激发学生
的学习兴趣.
重点难点
教学重点:理解弧度制的意义,并能进行角度和弧度的换算.
教学难点:弧度的概念及其与角度的关系.
课时安排
1 课时
教学过程
导入新课
思路 1.(类比导入)测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量,这两种度量单位是怎样
换算的?家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量,这两种度量单位是怎样换算的?度量角
的大小除了以度为单位度量外,还可采用哪种度量角的单位制?它们是怎样换算的?
思路 2.(情境导入)利用古代度量时间的一种仪器——日晷,或者利用普遍使用的钟表.
实际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的.无论采用哪一种方
法,度量一个确定的量所得到的量数必须是唯一确定的.在初中,已学过利用角度来度量角的
大小,现在来学习角的另一种度量方法——弧度制.要使学生真正了解弧度制,首先要弄清 1
弧度的含义,并能进行弧度与角度换算的关键.
在引入弧度制后,可以引导学生建立弧与圆心角的联系——弧的度数等于圆心角的度数.
随着角的概念的推广,圆心角和弧的概念也随之推广:从“形”上说,圆心角有正角、零角、
负角,相应的,弧也就有正弧、零弧、负弧;从“数”上讲,圆心角与弧的度数有正数、０、负
数.圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向”,就像三角函数值的正负可以用三角函
数线(有向线段)的方向来表示一样.每一个圆心角都有一条弧与它对应,并且不同的圆心角
360
1对应着不同的弧,反之亦然.
推进新课
新知探究
提出问题
问题①:在初中几何里,我们学习过角的度量,1°的角是怎样定义的呢?
问题②:我们从度量长度和重量上知道,不同的单位制能给我们解决问题带来方便.那么
角的度量是否也能用不同单位制呢?
图 1
活动:教师先让学生思考或讨论问题,并让学生回忆初中有关角度的知识,提出这是认识
弧度制的关键,为更好地理解角度弧度的关系奠定基础.讨论后教师提问学生,并对回答好的
学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的关键.教师板书弧度制的定义:规定
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧
度制;在弧度制下,1 弧度记作 1 rad.如图 1 中, 的长等于半径 r,AB 所对的圆心角∠AOB
就是 1 弧度的角,即 =1.
讨论结果:
①1°的角可以理解为将圆周角分成 360 等份,每一等份的弧所对的圆心角就是 1°.它是一
个定值,与所取圆的半径大小无关.
②能,用弧度制.
提出问题
问题①:作半径不等的甲、乙两圆,在每个圆上作出等于其半径的弧长,连结圆心与弧的
两个端点,得到两个角,将乙图移到甲图上,两个角有什么样的关系?
问题②:如果一个半径为 r 的圆的圆心角 α 所对的弧长是 l,那么 α 的弧度数是多少?
既然角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们之间如何换算?
活动:教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关系,提问学生归纳的情况,让学
生找出区别和联系.教师给予补充和提示,对表现好的学生进行表扬,对回答不准确的学生提
示和鼓励.引入弧度之后,应与角度进行对比,使学生明确:第一,弧度制是以“弧度”为单位
来度量角的单位制,角度制是以“度”为单位来度量角的单位制;第二,1 弧度是等于半径长
的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小,而 1°的角是周角的 ;第三,无论是以“弧度”还
是以“度”为单位,角的大小都是一个与半径大小无关的定值.教师要强调为了让学生习惯使
用弧度制,本教科书在后续的内容中尽量采用弧度制.
讨论结果:①完全重合,因为都是 1 弧度的角.
②α= ;将角度化为弧度:360°=2π rad,1°= rad≈0.017 45 rad,将弧度化为角
r
l
360
1
r
1
180
π度:2π rad=360°,1 rad=( )°≈57.30°=57°18′.弧度制与角度制的换算公式:设一
个角的弧度数为 α rad=( )°,n°=n (rad).
提出问题
问题①:引入弧度之后,在平面直角坐标系中,终边相同的角应该怎么用弧度来表示?扇形
的面积与弧长公式用弧度怎么表示?
问题②:填写下列的表格,找出某种规律.
的长 OB 旋转的方向 ∠AOB 的弧度数 ∠AOB 的度数
r 逆时针方向
2πr 逆时针方向
R 1
2r -2
-π
0
180°
360°
活动:教师先给学生说明教科书上为什么设置这个“探究”?其意图是先根据所给图象对
一些特殊角填表,然后概括出一般情况.教师让学生互动起来,讨论并总结出规律,提问学生
的总结情况,让学生板书,教师对做正确的学生给予表扬,对没有总结完全的学生进行简单的
提示.检查完毕后,教师做个总结.
由上表可知,如果一个半径为 r 的圆的圆心角 α 所对的弧长是 l,那么 α 的弧度数的绝
对值是 这里,应当注意从数学思想的高度引导学生认识“换算”问题,即角度制、弧度制
都是角的度量制,那么它们一定可以换算.推而广之,同一个数学对象用不同方式表示时,它
们之间一定有内在联系,认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一.
教师给学生指出,角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集 R 之间建立起一一对
应关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也
都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.值得注意的是:今后在表示与角
α 终边相同的角时,有弧度制与角度制两种单位制,要根据角 α 的单位来决定另一项的单
位,即两项所用的单位制必须一致,绝对不能出现 k·360°+ 或者 2kπ+60°一类的写法.
在弧度制中,与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可以写成 β=α+2kπ(k∈Z)的形式.如
图 2 为角的集合与实数集 R 之间的一一对应关系.
图 2
讨论结果:①与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可以写成 β=α+2kπ(k∈Z)的形式.弧
π
180
π
a180
180
π
π
a
1
3
π度制下关于扇形的公式为 l=αR,S= αR2,S= lR.
②
的长 OB 旋转的方向 ∠AOB 的弧度数 ∠AOB 的度数
πr 逆时针方向 Π 180°
2πr 逆时针方向 2π 360°
R 逆时针方向 1 57.3°
2r 顺时针方向 -2 -114.6°
πr 顺时针方向 -π -180°
0 未旋转 0 0°
πr 逆时针方向 Π 180°
2πr 逆时针方向 2π 360°
应用示例
例 1 下列诸命题中,真命题是( )
A.一弧度是一度的圆心角所对的弧
B.一弧度是长度为半径的弧
C.一弧度是一度的弧与一度的角之和
D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角,它是角的一种度量单位
活动:本例目的是让学生在教师的指导下理解弧度制与角度制的联系与区别,以达到熟练
掌握定义.从实际教学上看,弧度制不难理解,学生结合角度制很容易记住.
根据弧度制的定义:我们把长度等于半径长的弧和所对的圆心角叫做一弧度的角.对照各项,
可知 D 为真命题.
答案:D
点评:本题考查弧度制下角的度量单位:1 弧度的概念.
变式训练
下列四个命题中,不正确的一个是( )
A.半圆所对的圆心角是 π rad
B.周角的大小是 2π
C.1 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是 1 弧度
答案:D
例 2 将下列用弧度制表示的角化为 2kπ+α(k∈Z,α∈［0,2π))的形式,并指出它们所在的
象限:①- ;② ;③-20;④- .
活动:本题的目的是让学生理解什么是终边相同的角,教师给予指导并讨论归纳出一般规
律.即终边在 x 轴、y 轴上的角的集合分别是:{β｜β=kπ,k∈Z},{β｜β =kπ,k∈Z}.第
一、二、三、四象限角的集合分别为:
{β｜2kπ
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