高中数学 （1.2.1 任意角的三角函数）教案 新人教A版必修4.doc

1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数 整体设计 教学分析 学生已经学过锐角三角函数,它是用直角三角形边长的比来刻画的.锐角三角函数的引入 与“解三角形”有直接关系.任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型,它与“解三 角形”已经没有什么关系了.因此,与学习其他基本初等函数一样,学习任意角的三角函数, 关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质,并能用三角函数描述一些简单的周期变 化规律,解决简单的实际问题. 本节以锐角三角函数为引子,利用单位圆上点的坐标定义三角函数.由于三角函数与单位 圆之间的这种紧密的内部联系,使得我们在讨论三角函数的问题时,对于研究哪些问题以及 用什么方法研究这些问题等,都可以从圆的性质(特别是对称性)中得到启发.三角函数的研 究中,数形结合思想起着非常重要的作用. 利用信息技术,可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数 线之间的联系,并在角的变化过程中,将这种联系直观地体现出来.所以,信息技术可以帮助 学生更好地理解三角函数的本质.激发学生对数学研究的热情,培养学生勇于发现、勇于探索、 勇于创新的精神;通过学生之间、师生之间的交流合作,实现共同探究、教学相长的教学情境. 三维目标 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义,理解三角函数是以实数为自变量 的函数,并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域,理解并掌握正弦、 余弦、正切函数在各象限内的符号. 2.通过对任意角的三角函数定义的理解,掌握终边相同角的同一三角函数值相等. 3.正确利用与单位圆有关的有向线段,将任意角 α 的正弦、余弦、正切函数值表示出来, 即用正弦线、余弦线、正切线表示出来. 4.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题. 重点难点 教学重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义,终边相同的角的同一三角函数值相等. 教学难点:用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数;三角函数符号;利用与单位圆有关的有 向线段,将任意角 α 的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示. 课时安排 2 课时 教学过程 第 1 课时 导入新课 思路 1.我们把角的范围推广了,锐角三角函数的定义还能适用吗?譬如三角形内角和为 180°,那么 sin200°的值还是三角形中 200°的对边与斜边的比值吗?类比角的概念的推广, 怎样修正三角函数定义?由此展开新课.另外用“单位圆定义法”单刀直入给出定义,然后再 在适当时机联系锐角三角函数,这也是一种不错的选择. 思路 2.教师先让学生看教科书上的“思考”,通过这个“思考”提出用直角坐标系中角 的终边上点的坐标表示锐角三角函数的问题,以引导学生回忆锐角三角函数概念,体会引进 象限角概念后,用角的终边上点的坐标比表示锐角三角函数的意义,从而为定义任意角的三 角函数奠定基础.教科书在定义任意角的三角函数之前,作了如下铺垫:直角三角形为载体的锐角三角函数→象限角为载体的锐角三角函数→单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数. 推进新课 新知探究 提出问题 问题①:在初中时我们学了锐角三角函数,你能回忆一下锐角三角函数的定义吗? 问题②:你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗? 活动:教师提出问题,学生口头回答,突出它是以锐角为自变量,边的比值为函数值的三角 函数,教师并对回答正确的学生进行表扬,对回答不出来的同学给予提示和鼓励.然后教师在 黑板上画出直角三角形. 教师提示:前面我们对角的概念已经进行了扩充,并且学习了弧度制,知道了角的集合与 实数集是一一对应的,在此基础上,我们来研究任意角的三角函数.教师在直角三角形所在的 平面上建立适当的坐标系,画出角 α 的终边;学生给出相应点的坐标,并用坐标表示锐角三 角函数. 图 1 如图 1,设锐角 α 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的正半轴重合,那么它的终边在第一 象限.在 α 的终边上任取一点 P(a,b),它与原点的距离 >0.过 P 作 x 轴的垂线,垂 足为 M,则线段 OM 的长度为 a,线段 MP 的长度为 b. 根据初中学过的三角函数定义,我们有 sinα= = ,cosα= = ,tanα= = . 讨论结果: ①锐角三角函数是以锐角为自变量,边的比值为函数值的三角函数. ②sinα= = ,cosα= = ,tanα= = . 提出问题 问题①:如果改变终边上的点的位置,这三个比值会改变吗?为什么? 问题②:你利用已学知识能否通过取适当点而将上述三角函数的表达式简化? 活动:教师先让学生们相互讨论,并让他们动手画画图形,看看从图形中是否能找出某种 关系来.然后提问学生,由学生回答教师的问题,教师再引导学生选几个点,计算一下对应的 比值,获得具体认识,并由相似三角形的性质来证明.最后可以发现,由相似三角形的知识,对 于确定的角 α,这三个比值不会随点 P 在 α 的终边上的位置的改变而改变. 过图形教师引导学生进行对比,学生通过对比发现取到原点的距离为 1 的点可以使表达 式简化. 此时 sinα= =b,cosα= =a,tanα= = . 在引进弧度制时我们看到,在半径为单位长度的圆中,角 α 的弧度数的绝对值等于圆心 角 α 所对的弧长(符号由角 α 的终边的旋转方向决定).在直角坐标系中,我们称以原点 O 22 ba + OP MP r b OP OM r a OP MP a b OP MP r b OP OM r a OM MP a b OP MP OP OM OM MP a b为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.这样,上述 P 点就是 α 的终边与单位圆的交点.锐 角三角函数可以用单位圆上点的坐标表示. 同样地,我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数. 图 2 如图 2 所示,设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么: (1)y 叫做 α 的正弦,记作 sinα,即 sinα=y; (2)x 叫做 α 的余弦,记作 cosα,即 cosα=x; (3) 叫做 α 的正切,记作 tanα,即 tanα= (x≠0). 所以,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值 的函数,我们将它们统称为三角函数. 教师出示定义后,可让学生解释一下定义中的对应关系.教师应指出任意角的正弦、余弦、 正切的定义是本节教学的重点.用单位圆上点的坐标表示任意角的三角函数,与学生在锐角 三角函数学习中建立的已有经验有一定的距离,与学生在数学必修一的学习中建立起来的经 验也有一定的距离.学生熟悉的函数 y=f(x)是实数到实数的一一对应,而这里给出的三角函 数首先是实数(弧度数)到点的坐标的对应,然后才是实数(弧度数)到实数(横坐标或纵坐标) 的对应,这就给学生的理解造成一定的困难.教师在教学中可以在学生对锐角三角函数已有 的几何直观认识的基础上,先建立直角三角形的锐角与第一象限角的联系,在直角坐标系中 考查锐角三角函数,得出用角的终边上点的坐标(比值)表示锐角三角函数的结论,然后再“特 殊化”引出用单位圆上点的坐标表示锐角三角函数的结论.在此基础上,再定义任意角的三 角函数. 在导学过程中教师应点拨学生注意,尽管我们从锐角三角函数出发来引导学生学习任意 角的三角函数,但任意角的三角函数与锐角三角函数之间并没有一般与特殊的关系.教师在 教学中应当使学生体会到,用单位圆上点的坐标表示锐角三角函数,不仅简单、方便,而且反 映本质. 教师可以引导学生通过分析三角函数定义中的自变量是什么,对应关系有什么特点,函数 值是什么.特别注意 α 既表示一个角,又是一个实数(弧度数).“它的终边与单位圆交于点 P(x,y)”包含两个对应关系.从而可以把三角函数看成是自变量为实数的函数.值得注意的 是:(1)正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量,以比值为函数值的函 数.(2)sinα 不是 sin 与 α 的乘积,而是一个比值;三角函数的记号是一个整体,离开自变 量的“sin”“tan”等是没有意义的. 讨论结果:①这三个比值与终边上的点的位置无关,根据初中学过的三角函数定义,有 sinα= = ,cosα= = , tanα= = . 由相似三角形的知识,对于确定的角 α,这三个比值不会随点 P 在 α 的终边上的位置的 改变而改变. x y x y OP MP r b OP OM r a OP MP a b②能. 提出问题 问题①:学习了任意角,并利用单位圆表示了任意角的三角函数,引入一个新的函数,我们 可以对哪些问题进行讨论? 问题②:根据三角函数的定义,正弦、余弦、正切的定义域、值域是怎样的? 活动:教师引导学生结合在数学必修一中的有关函数的问题,让学生回顾所学知识,并总 结回答老师的问题,教师对学生总结的东西进行提问,并对回答正确的学生进行表扬,回答不 正确或者不全面的学生给予提示和补充.教师让学生完成教科书上的“探究”,教师提问或让 学生上黑板板书. 按照这样的思路,我们一起来探究如下问题:请根据任意角的三角函数定义,先将正弦、 余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入下表,再将这三种函数的值在各象限的符号填入图 3 中的括号内. 三角函 数 定义域 sinα cosα tanα 图 3 教师要注意引导学生从定义出发,利用坐标平面内点的坐标的特征得定义域、函数值的 符号等结论.对于正弦函数 sinα=y,因为 y 恒有意义,即 α 取任意实数,y 恒有意义,也就是 说 sinα 恒有意义,所以正弦函数的定义域是 R;类似地可写出余弦函数的定义域;对于正切 函数 tanα= ,因为 x=0 时, 无意义,即 tanα 无意义,又当且仅当角 α 的终边落在纵轴 上时,才有 x=0,所以当 α 的终边不在纵轴上时, 恒有意义,即 tanα 恒有意义,所以正切 函数的定义域是 α≠ +kπ(k∈Z).(由学生填写下表) 三角函数 定义域 sinα R cosα R tanα {α|α≠ +kπ,k∈Z} 三角函数的定义告诉我们,各三角函数在各象限内的符号,取决于 x,y 的符号,当点 P 在 第一、二象限时,纵坐标 y>0,点 P 在第三、四象限时,纵坐标 y0,那么: 图 4 ① 叫做 α 的正弦,即 sinα= ; ② 叫做 α 的余弦,即 cosα= ; ③ 叫做 α 的正切,即 tanα= (x≠0). 这样定义三角函数,突出了点 P 的任意性,说明任意角 α 的三角函数值只与 α 有关,而 与点 P 在角的终边上的位置无关,教师要让学生充分思考讨论后深刻理解这一点. 解:由已知,可得 OP0= =5. 图 5 如图 5,设角 α 的终边与单位圆交于点 P(x,y).分别过点 P、P0 作 x 轴的垂线 MP、M0P0,则|M0P 0|=4,|MP|=-y,|OM0|=3，|OM|=-x,△OMP∽△OM0P0, 于是 sinα=y= = = = ; cosα=x= = = = ; 2 π 22 yx + r y r y r x r x x y x y 22 )4()3( −+− 1 y || || OP MP− || || 0 00 OP PM− 5 4− 1 x || || OP OM− || || 0 0 OP OM− 5 3−tanα= = = . 点评:本例是已知角 α 终边上一点的坐标,求角 α 的三角函数值问题.可以先根据三角 形相似将这一问题化归到单位圆上,再由定义得解. 变式训练 求 的正弦、余弦和正切值. 图 6 解:在平面直角坐标系中,作∠AOB= ,如图 6. 易知∠AOB 的终边与单位圆的交点坐标为( , ), 所以 sin = ,cos = ,tan = . 例 2 求证:当且仅当下列不等式组成立时,角 θ 为第三象限角. 活动:教师引导学生讨论验证在不同的象限内各个三角函数值的符号有什么样的关系,提 示学生从三角函数的定义出发来探究其内在的关系.可以知道:三角函数的定义告诉我们,各 三角函数在各象限内的符号,取决于 x,y 的符号,当点 P 在第一、二象限时,纵坐标 y>0,点 P 在第三、四象限时,纵坐标 y0 时,r= ,α 是第四象限角, sinα= = = ,secα= = = , 6 19π 2 1 6 19 6 7 6 7 2 3− 3 3 22 (-3k)k + 10 10k r y k k 10 3− 10 103− x r k k10 10∴10sinα+3secα=10× +3 =-3 +3 =0. (2)当 k0 时,P(k,-3k)是第四象限内的点,角 α 的终边在第 四象限;当 k ≠ > >+ ≠ > 2 1cos ,1sin ,0sin ,01cos2 ,1sin ,0sin x x x x x x则 (k∈Z). ∴函数的定义域为{x|2kπ