高中数学 （1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象）教案 新人教A版必修4.doc

1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 整体设计 教学分析 研究函数的性质常常以图象直观为基础,这点学生已经有些经验,通过观察函数的图象, 从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法,这也是数形结合思想的应用.正弦函数、余弦 函数的教学也是如此.先研究它们的图象,在此基础上再利用图象来研究它们的性质.显然, 加强数形结合是深入研究函数性质的基本要求. 由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的 最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质,那么它 的性质也就完全清楚了,因此,教科书把对周期性的研究放在了首位.另外,教科书通过“旁 白”,指出研究三角函数性质“就是要研究这类函数具有的共同特点”,这是对数学思考方向 的一种引导. 由于正弦线、余弦线已经从“形”的角度描述了三角函数,因此利用单位圆中的三角函 数线画正弦函数图象是一个自然的想法.当然,我们还可以通过三角函数的定义、三角函数值 之间的内在联系性等来作图,从画出的图形中观察得出五个关键点,得到“五点法”画正弦函 数、余弦函数的简图. 三维目标 1.通过实验演示,让学生经历图象画法的过程及方法,通过对图象的感知,形成正弦曲线的初 步认识,进而探索正弦曲线准确的作法,养成善于发现、善于探究的良好习惯.学会遇到新问 题时善于调动所学过的知识,较好地运用新旧知识之间的联系,提高分析问题、解决问题的能 力. 2.通过本节学习,理解正弦函数、余弦函数图象的画法.借助图象变换,了解函数之间的内在 联系.通过三角函数图象的三种画法:描点法、几何法、五点法,体会用“五点法”作图给我 们学习带来的好处,并会熟练地画出一些较简单的函数图象. 3.通过本节的学习,让学生体会数学中的图形美,体验善于动手操作、合作探究的学习方法带 来的成功愉悦.渗透由抽象到具体的思想,加深数形结合思想的认识,理解动与静的辩证关系, 树立科学的辩证唯物主义观. 重点难点 教学重点:正弦函数、余弦函数的图象. 教学难点:将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点;正弦函数与余弦函数 图象间的关系. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.(复习导入)遇到一个新的函数,非常自然的是画出它的图象,观察图象的形状,看 看有什么特殊点,并借助图象研究它的性质,如:值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等. 我们也很自然的想知道 y=sinx 与 y=cosx 的图象是怎样的呢?回忆我们在必修 1 中学过的指 数函数、对数函数的图象是什么?是如何画出它们图象的(列表描点法:列表、描点、连线)? 进而引导学生通过取值,画出当 x∈［0,2π］时,y=sinx 的图象. 思路 2.(情境导入)请学生动手做一做章头图表示的“简谐运动”实验.教师指导学生将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗,再挂在架子上,就做成了一个简易单摆.在漏斗下方放 一块纸板,板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上沙并拉离平衡位置,放手使它 摆动,同时匀速拉动纸板,这样就可在纸板上得到一条曲线,它就是简谐运动的图象.物理中 把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”.它表示了漏斗对平衡位置的位移 s(纵 坐标)随时间 t(横坐标)变化的情况. 有了上述实验,你对正弦函数、余弦函数的图象是否有了一个直观的印象?画函数的图象,最 基本的方法是我们以前熟知的列表描点法,但不够精确.下面我们利用正弦线画出比较精确 的正弦函数图象. 推进新课 新知探究 提出问题 问题①:作正弦函数图象的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值,由于对一般角的 三角函数值都是近似值,不易描出对应点的精确位置.我们如何得到任意角的三角函数值并 用线段长(或用有向线段数值)表示 x 角的三角函数值?怎样得到函数图象上点的两个坐标的 准确数据呢?简单地说,就是如何得到 y=sinx,x∈［0,2π］的精确图象呢? 问题②:如何得到 y=sinx,x∈R 时的图象? 活动:教师先让学生阅读教材、思考讨论,对于程度较弱的学生,教师指导他们查阅课本 上的正弦线.此处的难点在于为什么要用正弦线来作正弦函数的图象,怎样在 x 轴上标横坐 标?为什么将单位圆分成 12 份?学生思考探索仍不得要领时,教师可进行适时的点拨.只要解 决了 y=sinx,x∈［0,2π］的图象,就很容易得到 y=sinx,x∈R 时的图象了. 对问题①,第一步,可以想象把单位圆圆周剪开并 12 等分,再把 x 轴上从 0 到 2π 这一段 分成 12 等份.由于单位圆周长是 2π,这样就解决了横坐标问题.过⊙O1 上的各分点作 x 轴 的垂线,就可以得到对应于 0、 、 、 、 、…、2π 等角的正弦线,这样就解决了纵 坐标问题(相当于“列表”).第二步,把角 x 的正弦线向右平移,使它的起点与 x 轴上的点 x 重合,这就得到了函数对(x,y)(相当于“描点”).第三步,再把这些正弦线的终点用平滑曲线 连接起来,我们就得到函数 y=sinx 在［0,2π］上的一段光滑曲线(相当于“连线”).如图 1 所示(这一过程用课件演示,让学生仔细观察怎样平移和连线过程.然后让学生动手作图,形 成对正弦函数图象的感知).这是本节的难点,教师要和学生共同探讨. 图 1 对 问 题 ②, 因 为 终 边 相 同 的 角 有 相 同 的 三 角 函 数 值 , 所 以 函 数 y=sinx 在 x∈[2kπ,2(k+1)π],k∈Z 且 k≠0 上的图象与函数 y=sinx 在 x∈[0,2π]上的图象的形状 完全一致,只是位置不同.于是我们只要将函数 y=sinx,x∈[0,2π］的图象向左、右平行移 动(每次 2π 个单位长度),就可以得到正弦函数 y=sinx,x∈R 的图象.(这一过程用课件处理, 让同学们仔细观察整个图的形成过程,感知周期性) 6 π 4 π 3 π 2 π图 2 讨论结果:①利用正弦线,通过等分单位圆及平移即可得到 y=sinx,x∈［0,2π］的图象. ②左、右平移,每次 2π 个长度单位即可. 提出问题 如何画出余弦函数 y=cosx,x∈R 的图象?你能从正弦函数与余弦函数的关系出发,利用正 弦函数图象得到余弦函数图象吗? 活动:如果再用余弦线作余弦函数的图象那太麻烦了,根据已学的知识,教师引导学生观 察诱导公式,思考探究两个函数之间的关系,通过怎样的坐标变换可得到余弦函数图象?让学 生从函数解析式之间的关系思考,进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法.让学生动 手做一做,体会正弦函数图象与余弦函数图象的异同,感知两个函数的整体形状,为下一步学 习正弦函数、余弦函数的性质打下基础. 讨论结果: 把正弦函数 y=sinx,x∈R 的图象向左平移 个单位长度即可得到余弦函数图象.如图 3. 图 3 正弦函数 y=sinx,x∈R 的图象和余弦函数 y=cosx,x∈R 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲 线点. 提出问题 问题①:以上方法作图,虽然精确,但不太实用,自然我们想寻求快捷地画出正弦函数图象 的方法.你认为哪些点是关键性的点? 问题②:你能确定余弦函数图象的关键点,并作出它在［0,2π］上的图象吗? 活动:对问题①,教师可引导学生从图象的整体入手观察正弦函数的图象,发现在 ［0,2π］上有五个点起关键作用,只要描出这五个点后,函数 y=sinx 在［0,2π］上的图象 的形状就基本上确定了.这五点如下: (0,0),( ,1),(π,0),( ,-1),(2π,0). 因此,在精确度要求不太高时,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑的曲线将它们 连接起来,就可快速得到函数的简图.这种近似的“五点(画图)法”是非常实用的,要求熟练 掌握. 对问题②,引导学生通过类比,很容易确定在［0,2π］上起关键作用的五个点,并指导学生通 过描这五个点作出在［0,2π］上的图象. 讨论结果:①略. ②关键点也有五个,它们是:(0,1),( ,0),(π,-1),( ,0),(2π,1). 应用示例 思路 1 2 π 2 π 2 3π 2 π 2 3π例 1 画出下列函数的简图 (1)y=1+sinx,x∈[0,2π];(2)y=-cosx,x∈[0,2π]. 活动:本例的目的是让学生在教师的指导下会用“五点法”画图,并通过独立完成课后练 习 1 领悟画正弦、余弦函数图象的要领,最终达到熟练掌握.从实际教学来看,“五点法”画 图易学却难掌握,学生需练好扎实的基本功.可先让学生按“列表、描点、连线”三步来完成. 对学生出现的种种失误,教师不要着急,在学生操作中指导一一纠正,这对以后学习大有好处. 解:(1)按五个关键点列表: x 0 π 2π sinx 0 1 0 -1 0 1+sinx 1 2 1 0 1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图 4). 图 4 (2)按五个关键点列表: x 0 π 2π cosx 1 0 -1 0 1 -cosx -1 0 1 0 -1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图 5). 图 5 点评:“五点法”是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法,本例是最简单的变化.本例 的目的是让学生熟悉“五点法”.如果是多媒体教学,要突破课件教学的互动性,多留给学生 一些动手操作的时间,或者增加图象纠错的环节,效果将会令人满意,切不可教师画图学生看. 完成本例后,让学生阅读本例下面的“思考”,并回答如何通过图象变换得出要画的图象,让 学生从另一个角度熟悉函数作图的方法. 变式训练 2007 山东临沂一摸统考 17(1)在给定的直角坐标系如图 6 中,作出函数 f(x)= cos(2x+ )在区间[0,π]上的图象. 解:列表取点如下: x 0 π 2 π 2 3π 2 π 2 3π 2 4 π 8 π 8 3π 8 5π 8 7ππ 2π f(x) 1 0 0 1 描点连线作出函数 f(x)= cos(2x+ )在区间[0,π]上的图象如图 7 所示. 图 6 图 7 思路 2 例 1 画出函数 y=|sinx|,x∈R 的简图. 活动:教师引导学生观察探究 y=sinx 的图象并思考｜sinx｜的意义,发现只要将其 x 轴 下方的图象翻上去即可.进一步探究发现,只要画出 y=|sinx|,x∈[0,π]的图象,然后左、右 平移(每次 π 个单位)就可以得到 y=|sinx|,x∈R 的图象.让学生尝试寻找在[0,π]上哪些 点起关键作用,易看出起关键作用的点有三个:(0,0),( ,1),(π,0).然后列表、描点、连 线,让学生自己独立操作完成,对其失误的地方再予以一一纠正. 解:按三个关键点列表: x 0 π sinx 0 1 0 y=｜sinx｜ 0 1 0 描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图 8). 图 8 点评:通过本例,让学生更深刻地理解正弦曲线及“五点法”画图的要义,并进一步从图 象变换的角度认识函数之间的关系,也为下一步将要学习的周期打下伏笔. 变式训练 1.方程 sinx= 的根的个数为( ) A.7 B.8 C.9 D.10 解:这是一个超越方程,无法直接求解,可引导学生考虑数形结合的思想方法,将其转化为函 数 y= 的图象与 y=sinx 的图象的交点个数问题,借助图形直观求解.解好本题的关键是正 确地画出正弦函数的图象.如 图 9,从图中可看出,两个图象有 7 个交点. 42 π+x 4 π 2 π 2 3π 4 9π 2− 2 2 4 π 2 π 2 π 10 x 10 x图 9 答案:A 2.用五点法作函数 y=2sin2x 的图象时,首先应描出的五点横坐标可以是( ) A.0, , ,2π B.0, , , ,π C.0,π,2π,3π,4π D.0, , , , 答案:B 知能训练 课本本节练习 解答: 1.可以用单位圆中的三角函数线作出它们的图象,也可以用“五点法”作出它们的图象,还可 以用图形计算器或计算机直接作出它们的图象.两条曲线形状相同,位置不同,例如函数 y=sinx,x∈[0,2π]的图象,可以通过将函数 y=cosx,x∈[ , ]的图象向右平行移动 个单位长度而得到(图 10). 图 10 点评:在同一个直角坐标系中画出两个函数图象,利于对它们进行对比,可以加强正弦函 数与余弦函数的联系.通过多种方法画图,渗透数形结合思想,强化学生对数学概念本质的认 识. 2.两个函数的图象相同. 点评:先用“五点法”画出余弦函数的图象,再通过对比函数解析式发现另一函数的图象 的变化规律,最后变换余弦曲线得到另一函数的图象(图 11). 图 11 课堂小结 以提问的方式,先由学生反思学习内容并回答,教师再作补充完善. 1.怎样利用“周而复始”的特点,把区间［0,2π］上的图象扩展到整个定义域的? 2.如何利用图象变换从正弦曲线得到余弦曲线? 这节课学习了正弦函数、余弦函数图象的画法.除了它们共同的代数描点法、几何描点法之 外,余弦函数图象还可由平移交换法得到.“五点法”作图是比较方便、实用的方法,应熟练 掌握.数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法. 2 π 2 3π 4 π 2 π 4 3π 6 π 3 π 2 π 3 2π 2 π 2 3π 2 π作业 1.课本习题 1.4 A 组 1. 2.预习下一节:正弦函数、余弦函数的性质. 设计感想 1.本节课操作性强,学生活动量较大.新课从实验演示入手,形成图象的感知后,升级问题,探 索正弦曲线准确的作法,形成理性认识.问题设置层层深入,引导学生发现问题,解决问题,并 对方法进行归纳总结,体现了新课标“以学生为主体,教师为主导”的课堂教学理念.如用多 媒体课件,则可生动地表现出函数图象的变化过程,更好地突破难点. 2.本节课所画的图象较多,能迅速准确地画出函数图象对初学者来说是一个较高的要求,重 在学生动手操作,不要怕学生出错.通过画图可以培养学生的动手能力、模仿能力.开始时要 慢些,尤其是“五点法”,每个点都要能准确地找到,然后迅速画出图象. 3.本小节设置的“探究”“思考”较多,还提供了“探究与发现”“信息技术应用”等拓展 性栏目.教学时,应留给学生一定的时间思考、探究这些问题.