高中数学 （1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质）教案 新人教A版必修4.doc

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 整体设计 教学分析 对于函数性质的研究,在高一必修中已经研究了幂函数、指数函数、对数函数的图象与 性质.因此作为高中最后一个基本初等函数的性质的研究,学生已经有些经验了.其中,通过 观察函数的图象,从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法,这也是数形结合思想方法 的应用. 由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函 数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期区间上的性质,那么 就完全清楚它在整个定义域内的性质. 正弦、余弦函数性质的难点,在于对函数周期性的正确理解与运用,以下的奇偶性,无论 是由图象观察,还是由诱导公式进行证明,都很容易.单调性只要求由图象观察,不要求证明, 而正弦、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论,只要注意引导学生利用周 期进行正确归纳即可. 三维目标 1.通过创设情境,如单摆运动、波浪、四季变化等,让学生感知周期现象;理解周期函数的概 念;能熟练地求出简单三角函数的周期,并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用. 2.通过本节的学习,使同学们对周期现象有一个初步的认识,感受生活中处处有数学,从而激 发学生的学习积极性,培养学生学好数学的信心,学会运用联系的观点认识事物. 重点难点 教学重点:正弦、余弦、正切函数的主要性质(包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域); 深入研究函数性质的思想方法. 教学难点:正弦函数和余弦函数图象间的关系、图象变换,以及周期函数概念的理解,最小正 周期的意义及简单的应用. 课时安排 2 课时 教学过程 第 1 课时 导入新课 思路 1.人的情绪、体力、智力都有周期性的变化现象,在日常生活和工作中,人们常常 有这样的自我感觉,有的时候体力充沛,心情愉快,思维敏捷;有的时候却疲倦乏力,心灰意冷, 反应迟钝;也有的时候思绪不稳,喜怒无常,烦躁不安,糊涂健忘,这些感觉呈周期性发生,贯 穿人的一生,这就是人体节律.这种有规律性的重复,我们称之为周期性现象.请同学们举出 生活中存在周期现象的例子,在学生热烈的争论中引入新课. 思路 2.取出一个钟表,实际操作,我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会 重复,这是一种周期现象.我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数.那么我们 怎样从数学的角度研究周期现象呢?在图形上让学生观察正弦线“周而复始”的变化规律,在 代数式上让学生思考诱导公式:sin(x+2kπ)=sinx 又是怎样反映函数值的“周而复始”的变 化规律的.要求学生用日常语言叙述这个公式,通过对图象、函数解析式的特点的描述,使学 生建立在比较牢固的理解周期性的认知基础上,来理解“周而复始”变化的代数刻画,由此引 出周期函数的概念. 推进新课 新知探究提出问题 问题①正弦函数、余弦函数是周期函数吗?如果是,又是怎样周期性变化的? 问题②阅读教材并思考:怎样从代数的角度定义周期函数? 活动:教师可先引导学生查阅思考上节学过的正弦函数图象,让学生观察正弦线的变化规 律,有什么新的发现?再让学生描述这种规律是如何体现在正弦函数的图象上的,即描述正弦 函数图象是如何体现“周而复始”的变化规律的.通过研究图象,学生很容易看出正弦函数、 余弦函数是周期函数.怎样变化呢?从图 1 中也能看出是每隔 2π 就重复一次. 对问题①,学生对正弦函数是周期函数是没有疑问的,至于怎样描述,学生一时很难回答. 教师可引导学生思考讨论,正弦函数图象是怎样重复出现的?对于回答对的学生给予肯定,鼓 励继续探究.对于找不到思路的学生给予提示,指导其正确的探究思路. 图 1 问题②,从图象上能够看出,但关键是怎样对“周而复始”的变化规律作出代数描述,这 对学生有一定的难度.在引入正式定义之前,可以引导学生先从不同角度进行描述.例如:对 于函数 f(x)自变量每增加或减少一个定值(这样的定值可以有很多个),函数值就重复出现, 那么这个函数就叫做周期函数.教师也可以引导点拨学生从诱导公式进行描述.例如: sin(α+2kπ)=sinα,cos(α+2kπ)=cosα,k∈Z. 这表明,正弦函数、余弦函数在定义域内自变量每增加(k>0 时)或减少(k0,x∈R)的周期为 4 π 6 π 4 π 2 π 4 π 6 π 2 π 6 π 2 π 2 x 6 π 2 1 6 π 2 x 6 π 2 x 6 πT= .可以按照如下的方法求它的周期: y=Asin(ωx+φ+2π)=Asin［ω(x+ )+φ］=Asin(ωx+φ). 于是有 f(x+ )=f(x), 所以其周期为 .例如,在第(3)小题,y=2sin( x- ),x∈R 中,ω= ,所以其周期是 4π.由上述解法可以看到,思考的基本依据还是 y=sinx 的周期为 2π. 根据这个结论,我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期.如例 3 中的第(3)小 题:T= =4π.这是求简单三角函数周期的最基本方法,即公式法. 变式训练 1.已知 f(x)是周期为 5 的周期函数,且 f(1)=2 007,求 f(11). 解:因为 5 是函数 f(x)在 R 上的周期, 所以 f(11)=f(6+5) =f(6)=f(1+5)=f(1)=2 007. 2.已知奇函数 f(x)是 R 上的函数,且 f(1)=2,f(x+3)=f(x),求 f(8). 解:由题意知,3 是函数 f(x)的周期,且 f(-x)=-f(x), 所以 f(8)=f(2+2×3) =f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)=-2. 思路 2 例 1 判断函数 f(x)=2sin2x+｜cosx｜,x∈R 的周期性.如果是周期函数,最小正周期是多少? 活动:本例的难度较大,教师可引导学生从定义出发,结合诱导公式,寻求使 f(x+T)=f(x) 成立的 T 的值.学生可能会很容易找出 4π,2π,这的确是原函数的周期,但是不是最小正周 期呢?教师引导学生选其他几个值试试.如果学生很快求出,教师给予表扬鼓励;如果学生做 不出,教师点拨学生的探究思路,主要让学生自己讨论解决. 解:因为 f(x+π)=2sin2(x+π)+｜cos(x+π)｜ =2sin2x+｜cosx｜ =f(x). 所以原函数是周期函数,最小正周期是 π. 点评:本题能很容易判断是周期函数,但要求的是“最小正周期”,那就要多加小心了.虽 然将 4π,2π 带入公式后也符合要求,但还必须进一步变形,即 f(x)中的 x 以 x+π 代替后 看 看 函 数 值 变 不 变 . 为 此 需 将 π, 等 都 代 入 试 一 试 . 实 际 上 , 在 f(x)=2sin2x+ ｜ cosx｜,x∈R 中,学生应看到平方与绝对值的作用是一样的,与负号没有关系.因而 π 肯定 是原函数的一个周期. 变式训练 1.求函数 y=2sin (π-x)的周期. 解:因为 y=2sin (π-x) =-2sin( x- ), ω π2 ω π2 ω π2 ω π2 2 1 6 π 2 1 ω π2 2 π 3 1 3 1 3 1 3 π所以周期 T=6π. 2.证明正弦、余弦函数的最小正周期是 2π. 证明:(反证法)先证正弦函数的最小正周期是 2π. 由于 2π 是它的一个周期, 所以只需证明任意一个小于 2π 的正数都不是它的周期. 假设 T 是正弦函数的周期,且 0sin( ). 点评:解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究. 2 π 3 2x 4 π 2 π 8 3π− 8 9π 2 π 3 2x 4 π 2 3π 8 9π 8 21π 8 3π− 8 9π 8 9π 8 21π 2 π 2 π 2 π 2 3π 2 3 2 2 2 2 2 π 2 π− 8 15π 9 14π 7 54π− 8 63π−6.[kπ+ ,kπ+ ],k∈Z. 点评:关键是利用转化与化归的思想将问题转化为正弦函数的单调性问题,得到关于 x 的不 等式,通过解不等式求得答案. 课堂小结 1.由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识,学习了哪些数学思想方法.这节课我们 研究了正弦函数、余弦函数的性质.重点是掌握正弦函数的性质,通过对两个函数从定义域、 值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的研究,更加深了我们对这两个函 数的理解.同时也巩固了上节课所学的正弦函数,余弦函数的图象的画法. 2.进一步熟悉了数形结合的思想方法,转化与化归的思想方法,类比思想的方法及观察、归纳、 特殊到一般的辩证统一的观点. 作业 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=xsin(π+x); (2)f(x)= . 解答: (1)函数的定义域为 R,它关于原点对称. ∵f(x)=xsin(π+x)=-xsinx,f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsinx=f(x), ∴函数为偶函数. (2)函数应满足 1-sinx≠0,∴函数的定义域为{x|x∈R 且 x≠2kπ+ ,k∈Z}. ∵函数的定义域关于原点不对称,∴函数既不是奇函数也不是偶函数. 设计感想 1.本节是三角函数的重点内容,设计的容量较大,指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量 活动.作为函数的性质,从初中就开始学习,到高中学习了幂函数、指数、对数函数后有了较 深的认识,这是高中所学的最后一个基本初等函数.但由于以前所学的函数不是周期函数,所 以理解较为容易,而正弦函数、余弦函数除具有以前所学函数的共性外,又有其特殊性,共性 中包含特性,特性又离不开共性,这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟. 2.在讲完正弦函数性质的基础上,应着重引导学生用类比的方法写出余弦函数的性质,以加 深他们对两个函数的区别与联系的认识,并在解题中突出数形结合思想,在训练中降低变化 技巧的难度,提高应用图象与性质解题的力度.较好地利用图象解决问题,这也是本节课主要 强调的数学思想方法. 3.学习三角函数性质后,引导学生对过去所学的知识重新认识,例如 sin(α+2π)=sinα 这 个公式,以前我们只简单地把它看成一个诱导公式,现在我们认识到了,它表明正弦函数的周 期性,以提升学生的思维层次. 8 π 8 5π x x sin1 cossin1 2 − ++− 2 π