1.4.3 正切函数的性质与图象
整体设计
教学分析
本节课的背景是:这之前我们已经用了三节课的时间学习了正弦函数和余弦函数的性质.
函数的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式.一般来说,对函数性质的研究总是先
作图象,通过观察图象获得对函数性质的直观认识,然后再从代数的角度对性质作出严格表
述.但对正切函数,教科书换了一个新的角度,采取了先根据已有的知识(如正切函数的定义、
诱导公式、正切线等)研究性质,然后再根据性质研究正切函数的图象.这样处理,主要是为了
给学生提供研究数学问题更多的视角,在性质的指导下可以更加有效地作图、研究图象,加强
了理性思考的成分,并使数形结合的思想体现得更加全面.教师要在学生探究活动过程中引
导学生体会这种解决问题的方法.
通过多媒体教学,让学生通过对图象的动态观察,对知识点的理解更加直观、形象.以提
高学生的学习兴趣,提高课题教学质量.从学生的实际情况为教学出发点,通过各种数学思想
的渗透,合理运用各种教学课件,逐步培养学生养成学会通过对图象的观察来整理相应的知
识点的能力,学会运用数学思想解决实际问题的能力.这样既加强了类比这一重要数学思想
的培养,也有利于学生综合运用能力的提高,有利于学生把新旧知识前后联系,融会贯通,提
高教学效果.
由于学生已经有了研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,这种经验完全可以迁移到
对正切函数性质的研究中,因此,我们可以通过“探究”提出,引导学生根据前面的经验研究
正切函数的性质,让学生深刻领悟这种迁移与类比的学习方法.
三维目标
1.通过对正切函数的性质的研究,注重培养学生类比思想的养成,以及培养学生综合运用新
旧知识的能力.学会通过对图象的观察来整理相应的知识点,学会运用数学思想解决实际问
题的能力.
2.在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质的基础上,运用类比的方法,学习正切函数的图
象与性质,从而培养学生的类比思维能力.
3.通过正切函数图象的教学,培养学生欣赏(中心)对称美的能力,激发学生热爱科学、努力学
好数学的信心.
重点难点
教学重点:正切函数的性质与图象的简单应用.
教学难点:正切函数性质的深刻理解及其简单应用.
课时安排
1 课时
教学过程
导入新课
思路 1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象
和性质,你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,以同样的方法研究正切函
数的图象与性质？由此展开新课.
思路 2.先由图象开始,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画
出正切函数的图象.这也是一种不错的选择,这是传统的导入法.
推进新课
新知探究
提出问题①我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质.正切函数是我们高中要学
习的最后一个基本初等函数.你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗？都研究函数
的哪几个方面的性质？
②我们学习了正弦线、余弦线、正切线.你能画出四个象限的正切线吗？
③我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象,然后向左、右
扩展,这样就可以得到它在整个定义域上的图象.那么我们先选哪一个区间来研究正切函数
呢？为什么？
④我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图,你能画出正切函数的简图吗？
你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗？
活动:问题①,教师先引导学生回忆:正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、
单调性、周期性这几个方面来研究的,有了这些知识准备,然后点拨学生也从这几个方面来探
究正切函数的性质.由于还没有作出正切函数图象,教师指导学生充分利用正切线的直观性.
(1)周期性
由诱导公式
tan(x+π)=tanx,x∈R,x≠ +kπ,k∈Z
可知,正切函数是周期函数,周期是 π.
这里可通过多媒体课件演示,让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性,直观理
解正切函数的周期性,后面的正切函数图象作出以后,还可从图象上观察正切函数的这一周
期性.
(2)奇偶性
由诱导公式
tan(-x)=-tanx,x∈R,x≠ +kπ,k∈Z
可知,正切函数是奇函数,所以它的图象关于原点对称.教师可进一步引导学生通过图象
还能发现对称点吗？与正余弦函数相对照,学生会发现正切函数也是中心对称函数,它的对
称中心是( ,0)k∈Z.
(3)单调性
通过多媒体课件演示,由正切线的变化规律可以得出,正切函数在( , )内是增函数,
又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间( +kπ, +kπ),k∈Z 内都是增函数.
(4)定义域
根据正切函数的定义 tanα= ,显然,当角 α 的终边落在 y 轴上任意一点时,都有 x=0,
这时正切函数是没有意义的；又因为终边落在 y 轴上的所有角可表示为 kπ+ ,k∈Z,所以
正切函数的定义域是{α|α≠kπ+ ,k∈Z},而不是{α≠ +2kπ,k∈Z},这个问题不少初
学者很不理解,在解题时又很容易出错,教师应提醒学生注意这点,深刻明了其内涵本质.
(5)值域
由多媒体课件演示正切线的变化规律,从正切线知,当 x 大于 且无限接近 时,正
2
π
2
π
2
πk
2
π−
2
π
2
π−
2
π
x
y
2
π
2
π
2
π
2
π−
2
π−切线 AT 向 Oy 轴的负方向无限延伸;当 x 小于 且无限接近 时,正切线 AT 向 Oy 轴的正方
向无限延伸.因此,tanx 在( , )内可以取任意实数,但没有最大值、最小值.
因此,正切函数的值域是实数集 R.
问题②,教师引导学生作出正切线,并观察它的变化规律,如图 1.
图 1
问题③,正切函数图象选用哪个区间作为代表区间更加自然呢？教师引导学生在课堂上
展开充分讨论,这也体现了“教师为主导,学生为主体”的新课改理念.有的学生可能选取了
［0,π］作为正切函数的周期选取,这正是学生作图的真实性的体现.此时,教师应调整计划,
把课件中先作出［- , ］内的图象,改为先作出［0,π］内的图象,再进行图象的平移,得
到整个定义域内函数的图象,让学生观察思考.最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内的
函数图象既简单又能完全体现正切函数的性质,让学生通过分析得到先作区间(- , )的
图象为好.这时条件成熟,教师引导学生来作正切函数的图象,如图 2.
根据正切函数的周期性,把图 2 向左、右扩展,得到正切函数 y=tanx,x∈R,且 x≠
+kπ(k∈Z)的图象,我们称正切曲线,如图 3.
图 2 图 3
问题④,教师引导学生观察正切曲线,点拨学生讨论思考,只需确定哪些点或线就能画出
函数 y=tanx,x∈( , )的简图.学生可看出有三个点很关键:( ,-1),(0,0),( ,1),
还有两条竖线.因此,画正切函数简图的方法就是:先描三点( ,-1),(0,0),( ,1),再画
两条平行线 x= ,x= ,然后连线.教师要让学生动手画一画,这对今后解题很有帮助.
讨论结果:①略.
②正切线是 AT.
③略.
④能,“三点两线”法.
2
π
2
π
2
π−
2
π
2
π
2
π
2
π
2
π
2
π
2
π−
2
π
4
π−
4
π
4
π−
4
π
2
π−
2
π提出问题
①请同学们认真观察正切函数的图象特征,由数及形从正切函数的图象讨论它的性质.
②设问:每个区间都是增函数,我们可以说正切函数在整个定义域内是增函数吗？请举一
个例子.
活动:问题①,从图中可以看出,正切曲线是被相互平行的直线 x= +kπ,k∈Z 所隔开的
无穷多支曲线组成的.教师引导学生进一步思考,这点反应了它的哪一性质——定义域；并且
函数图象在每个区间都无限靠近这些直线,我们可以将这些直线称之为正切函数的什么线
——渐近线；从 y 轴方向看,上下无限延伸,得到它的哪一性质——值域为 R；每隔 π 个单
位,对应的函数值相等,得到它的哪一性质——周期 π;在每个区间图象都是上升趋势,得到
它的哪一性质——单调性,单调增区间是( +kπ, +kπ),k∈Z,没有减区间.它的图象
是关于原点对称的,得到是哪一性质——奇函数.通过图象我们还能发现是中心对称,对称中
心是( ,0),k∈Z.
问题②,正切函数在每个区间上都是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内是
增函数.如在区间(0,π)上就没有单调性.
讨论结果:①略.
②略.
应用示例
例 1 比较大小.
(1)tan138°与 tan143°；(2)tan( )与 tan( ).
活动:利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小,可以先利用诱导公式将已
知角化为同一单调区间内的角,然后再比较大小.教师可放手让学生自己去探究完成,由学生
类比正弦、余弦函数值的大小比较,学生不难解决,主要是训练学生巩固本节所学的基础知识,
加强类比思想的运用.
解:(1)∵y=tanx 在 90°
微信/支付宝扫码支付