高中数学 （1.5 函数y=Asin(ωx φ)的图象）教案 新人教A版必修4.doc

1.5 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 整体设计 教学分析 本节通过图象变换,揭示参数 φ、ω、A 变化时对函数图象的形状和位置的影响,讨论函 数 y=Asin(ωx+φ)的图象与正弦曲线的关系,以及 A、ω、φ 的物理意义,并通过图象的变 化过程,进一步理解正、余弦函数的性质,它是研究函数图象变换的一个延伸,也是研究函数 性质的一个直观反映.这节是本章的一个难点. 如何经过变换由正弦函数 y=sinx 来获取函数 y=Asin(ωx+φ)的图象呢?通过引导学生 对函数 y＝sinx 到 y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索,让学生体会到由简单到复杂、 由特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后,将影响图象变换 这一难点的突破,让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法;通过对参数 φ、ω、A 的分类讨论,让学生深刻认识图象变换与函数解析式变换的内在联系. 本节课建议充分利用多媒体,倡导学生自主探究,在教师的引导下,通过图象变换和“五 点”作图法,正确找出函数 y＝sinx 到 y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律,这也是本节课的重 点所在. 三维目标 1.通过学生自主探究,理解 φ 对 y=sin(x+φ)的图象的影响,ω 对 y=sin(ωx+φ)的图象的 影响,A 对 y=Asin(ωx+φ)的图象的影响. 2.通过探究图象变换,会用图象变换法画出 y=Asin(ωx+φ)图象的简图,并会用“五点法” 画出函数 y=Asin(ωx+φ)的简图. 3.通过学生对问题的自主探究,渗透数形结合思想.培养学生的独立意识和独立思考能力.学 会合作意识,培养学生理解动与静的辩证关系,善于从运动的观点观察问题,培养学生解决问 题抓主要矛盾的思想.在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理,乐于创新的情感需求,引 发学生渴求知识的强烈愿望,树立科学的人生观、价值观. 重点难点 教学重点:用参数思想分层次、逐步讨论字母 φ、ω、A 变化时对函数图象的形状和位置的 影响,掌握函数 y=Asin(ωx+φ)图象的简图的作法. 教学难点:由正弦曲线 y=sinx 到 y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程. 课时安排 2 课时 教学过程 第 1 课时 导入新课 思路 1.(情境导入)在物理和工程技术的许多问题中,都要遇到形如 y=Asin(ωx+φ)的函 数(其中 A、ω、φ 是常数).例如,物体做简谐振动时位移 y 与时间 x 的关系,交流电中电流 强度 y 与时间 x 的关系等,都可用这类函数来表示.这些问题的实际意义往往可从其函数图 象上直观地看出,因此,我们有必要画好这些函数的图象.揭示课题:函数 y=Asin(ωx+φ)的 图象. 思路 2.(直接导入)从解析式来看,函数 y=sinx 与函数 y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关 系?从图象上看,函数 y=sinx 与函数 y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?接下来,我们就分 别探索 φ、ω、A 对 y=Asin(ωx+φ)的图象的影响. 推进新课 新知探究提出问题 ①观察交流电电流随时间变化的图象,它与正弦曲线有何关系？你认为可以怎样讨论参数 φ、ω、A 对 y=Asin(ωx+φ)的图象的影响？ ②分别在 y=sinx 和 y=sin(x+ )的图象上各恰当地选取一个纵坐标相同的点,同时移动这 两点并观察其横坐标的变化,你能否从中发现,φ 对图象有怎样的影响？对 φ 任取不同的 值,作出 y=sin(x+φ)的图象,看看与 y＝sinx 的图象是否有类似的关系？ ③请你概括一下如何从正弦曲线出发,经过图象变换得到 y=sin(x+φ)的图象. ④你能用上述研究问题的方法,讨论探究参数 ω 对 y=sin(ωx+φ)的图象的影响吗？为了 作图的方便,先不妨固定为 φ= ,从而使 y=sin(ωx+φ)在 ω 变化过程中的比较对象固定 为 y=sin(x+ ). ⑤类似地,你能讨论一下参数 A 对 y=sin(2x+ )的图象的影响吗？为了研究方便,不妨令 ω=2,φ= .此时,可以对 A 任取不同的值,利用计算器或计算机作出这些函数在同一坐标 系中的图象,观察它们与 y=sin(2x+ )的图象之间的关系. ⑥可否先伸缩后平移？怎样先伸缩后平移的？ 活动:问题①,教师先引导学生阅读课本开头一段,教师引导学生思考研究问题的方法.同 时引导学生观察 y=sin(x+ )图象上点的坐标和 y=sinx 的图象上点的坐标的关系,获得 φ 对 y=sin(x+φ)的图象的影响的具体认识.然后通过计算机作动态演示变换过程,引导学生 观察变化过程中的不变量,得出它们的横坐标总是相差 的结论.并让学生讨论探究.最后 共同总结出:先分别讨论参数 φ、ω、A 对 y=Asin(ωx+φ)的图象的影响,然后再整合. 图 1 问题②,由学生作出 φ 取不同值时,函数 y=sin(x+φ)的图象,并探究它与 y=sinx 的图 象的关系,看看是否仍有上述结论.教师引导学生获得更多的关于 φ 对 y=sin(x+φ)的图象 影响的经验.为了研究的方便,不妨先取 φ= ,利用计算机作出在同一直角坐标系内的图象, 如图 1,分别在两条曲线上恰当地选取一个纵坐标相同的点 A、B,沿两条曲线同时移动这两点, 并保持它们的纵坐标相等,观察它们横坐标的关系.可以发现,对于同一个 y 值,y=sin(x+ ) 的图象上的点的横坐标总是等于 y=sinx 的图象上对应点的横坐标减去 .这样的过程可通 过多媒体课件,使得图中 A、B 两点动起来(保持纵坐标相等),在变化过程中观察 A、B 的坐标、 3 π 3 π 3 π 3 π 3 π 3 π 3 π 3 π 3 π 3 π 3 πxB-xA、|AB|的变化情况,这说明 y=sin(x+ )的图象,可以看作是把正弦曲线 y=sinx 上所有 的点向左平移 个单位长度而得到的,同时多媒体动画演示 y=sinx 的图象向左平移 使之 与 y=sin(x+ )的图象重合的过程,以加深学生对该图象变换的直观理解.再取 φ= ,用 同样的方法可以得到 y=sinx 的图象向右平移 后与 y=sin(x )的图象重合. 如果再变换 φ 的值,类似的情况将不断出现,这时 φ 对 y=sin(x+φ)的图象的影响的铺 垫已经完成,学生关于 φ 对 y=sin(x+φ)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓. 问题③,引导学生通过自己的研究认识 φ 对 y=sin(x+φ)的图象的影响,并概括出一般结论: y=sin(x+φ)(其中 φ≠0)的图象,可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当 φ>0 时)或向 右(当 φ1 时)或伸长(当 00)的图象,可以看作是把 y=sin(ωx+φ)上所有点的 纵坐标伸长(当 A>1 时)或缩短(当 00)的图象变化的 影响情况.一般地,函数 y=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω>0)的图象,可以看作用下面的方法得 到:先画出函数 y＝sinx 的图象;再把正弦曲线向左(右)平移|φ|个单位长度,得到函数 y=sin(x+φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的 倍,得到函数 y=sin(ωx+φ) 的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 A 倍,这时的曲线就是函数 y=Asin(ωx+φ) 的图象. ⑥引导学生类比得出.其顺序是:先伸缩横坐标(或纵坐标),再伸缩纵坐标(或横坐标),最 后平移.但学生很容易在第三步出错,可在图象变换时,对比变换,以引起学生注意,并体会一 些细节. 由此我们完成了参数 φ、ω、A 对函数图象影响的探究.教师适时地引导学生回顾思考 整个探究过程中体现的思想:由简单到复杂,由特殊到一般的化归思想. 讨论结果:①把从函数 y=sinx 的图象到函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程,分解为先 分别考察参数 φ、ω、A 对函数图象的影响,然后整合为对 y=Asin(ωx+φ)的整体考察. ②略. ③图象左右平移,φ 影响的是图象与 x 轴交点的位置关系. ④纵坐标不变,横坐标伸缩,ω 影响了图象的形状. ⑤横坐标不变,纵坐标伸缩,A 影响了图象的形状. ⑥可以.先伸缩后平移(提醒学生尽量先平移),但要注意第三步的平移. y=sinx 的图象 3 π 3 π 3 π 3 π 3 π 3 π ω 1 )( )10()1( 横坐标不变倍这原来的 或缩短纵坐标伸长 A AA  → > 个单位长度平移 或向右向左 || )0()0( ϕ ϕϕ  → )(1 )1()10( 纵坐标不变到原来 或缩短横坐标伸长 ω ωω  → >0,φ≠0)的图象变换及其物理背景.由此展开新课. 思路 2.(复习导入)请同学们分别用图象变换及“五点作图法”画出函数 y=4sin( x- )的简图,学生动手画图,教师适时的点拨、纠正,并让学生回答有关的问题.在学生回顾 与复习上节所学内容的基础上展开新课. 推进新课 新知探究 提出问题 ①在上节课的学习中,用“五点作图法”画函数 y=Asin(ωx+φ)的图象时,列表中最关键的 步骤是什么？ ②(1)把函数 y＝sin2x 的图象向_____平移_____个单位长度得到函数 y＝sin(2x－ )的图 象；(2)把函数 y＝sin3x 的图象向_______平移_______个单位长度得到函数 y＝sin(3x＋ ) 的图象；(3)如何由函数 y＝sinx 的图象通过变换得到函数 y＝sin(2x+ )的图象？ ③将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向左平移 个单位长度,所得 到的曲线是 y= sinx 的图象,试求函数 y=f(x)的解析式. 对这个问题的求解现给出以下三种解法,请说出甲、乙、丙各自解法的正误.(多媒体出 示各自解法) 甲生:所给问题即是将 y= sinx 的图象先向右平移 个单位长度,得到 y= sin(x- ) 的图象,再将所得的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ,得到 y= sin(2x- ),即 y= cos2x 的图象,∴f(x)= cos2x. 乙生:设 f(x)=Asin(ωx+φ),将它的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,得到 y=Asin( x+φ)的图象,再将所得的图象向左平移 个单位长度,得到 y=Asin( x+ +φ)= sinx,∴A= , =1, +φ=0, 2 1 3 π 3 π 6 π 3 π 2 π 2 1 2 1 2 π 2 1 2 π 2 1 2 1 2 π 2 1− 2 1− 2 ω 2 π 2 ω 2 π 2 1 2 1 2 ω 2 π 即 A= ,ω=2,φ=- .∴f(x)= sin(2x- )= cos2x. 丙生:设 f(x)=Asin(ωx+φ),将它的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,得到 y=Asin( x+φ) 的 图 象 , 再 将 所 得 的 图 象 向 左 平 移 个 单 位 长 度 , 得 到 y=Asin[ (x+ )+φ]=Asin( x+ +φ)= sinx, ∴A= , =1, +φ=0. 解得 A= ,ω=2,φ=- , ∴f(x)= sin(2x- )= cos2x. 活动:问题①,复习巩固已学三种基本变换,同时为导入本节课重、难点创设情境.让学生 回答并回忆 A、ω、φ 对函数 y=Asin(ωx+φ)图象变化的影响.引导学生回顾“五点作图 法”,既复习了旧知识,又为学生准确使用本节课的工具提供必要的保障. 问题②,让学生通过实例综合以上两种变换,再次回顾比较两种方法平移量的区别和导致 这一现象的根本原因,以此培养训练学生变换的逆向思维能力,训练学生对变换实质的理解 及使用诱导公式的综合能力. 问题③,甲生的解法是考虑以上变换的“逆变换”,即将以上变换倒过来,由 y= sinx 变换到 y=f(x),解答正确.乙、丙两名同学都是采用代换法,即设 y=Asin(ωx+φ),然后按题 设中的变换得到两次变换后图象的函数解析式,这种思路清晰,但值得注意的是:乙生的解答 过程中存在实质性的错误,就是将 y=Asin( x+φ)的图象向左平移 个单位长度时,把 y=Asin( x+φ)函数中的自变量 x 变成 x+ ,应该变换成 y=Asin[ (x+ )+φ],而不是 变换成 y=Asin( x+ +φ),虽然结果一样,但这是巧合,丙同学的解答是正确的. 三角函数图象的“逆变换”一定要注意其顺序,比如甲生解题的过程中如果交换了顺序 就会出错,故在对这种方法不是很熟练的情况下,用丙同学的解法较合适(即待定系数法).平 移变换是对自变量 x 而言的,比如乙同学的变换就出现了这种错误. 讨论结果:①将 ωx+φ 看作一个整体,令其分别为 0, ,π, ,2π. ②(1)右, ；(2)左, ；(3)先 y＝sinx 的图象左移 ,再把所有点的横坐标压缩到原来 的 倍(纵坐标不变). ③略. 提出问题 ①回忆物理中简谐运动的相关内容,并阅读本章开头的简谐运动的图象,你能说出简谐运动 的函数关系吗？ ②回忆物理中简谐运动的相关内容,回答:振幅、周期、频率、相位、初相等概念与 A、ω、 φ 有何关系. 2 1 2 π 2 1 2 π 2 1− 2 ω 2 π 2 ω 2 π 2 ω 4 ωπ 2 1 2 1 2 ω 4 ωπ 2 1 2 π 2 1 2 π 2 1− 2 1 2 ω 2 π 2 ω 2 π 2 ω 2 π 2 ω 2 π 2 π 2 3π 6 π 18 π 3 π 2 1 活动:教师引导学生阅读并适时点拨.通过让学生回忆探究,建立与物理知识的联系,了解 常数 A、ω、φ 与简谐运动的某些物理量的关系,得出本章开头提到的“简谐运动的图象” 所对应的函数解析式有如下形式:y=Asin(ωx+φ),x∈［0,+∞),其中 A>0,ω>0.物理中,描 述简谐运动的物理量,如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关:A 就是这个简谐 运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离;这个简谐运动的周期是 T= ,这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间;这个简谐运动的频率由公式 f= = 给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数;ωx+φ 称为相位;x=0 时 的相位 φ 称为初相. 讨论结果:①y=Asin(ωx+φ),x∈［0,+∞),其中 A>0,ω>0. ②略. 应用示例 例 1 图 7 是某简谐运动的图象.试根据图象回答下列问题: (1)这个简谐运动的振幅、周期和频率各是多少? (2)从 O 点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了一次往复运动?如从 A 点算起呢? (3)写出这个简谐运动的函数表达式. 图 7 活动:本例是根据简谐运动的图象求解析式.教师可引导学生再次回忆物理学中学过的相 关知识,并提醒学生注意本课开始时探讨的知识,思考 y=Asin(ωx+φ)中的参数 φ、ω、A 在图象上是怎样反映的,要解决这个问题,关键要抓住什么.关键是搞清 φ、ω、A 等参数在 图象上是如何得到反映的.让学生明确解题思路,是由形到数地解决问题,学会数形结合地处 理问题.完成解题后,教师引导学生进行反思学习过程,概括出研究函数 y=Asin(ωx+φ)的 图象的思想方法,找两名学生阐述思想方法,教师作点评、补充. 解:(1)从图象上可以看到,这个简谐运动的振幅为 2 cm;周期为 0.8 s;频率为 . (2)如果从 O 点算起,到曲线上的 D 点,表示完成了一次往复运动;如果从 A 点算起,则到曲线 上的 E 点,表示完成了一次往复运动. (3)设这个简谐运动的函数表达式为 y=Asin(ωx+φ),x∈［0,+∞), 那么 A=2;由 =0.8,得 ω= ;由图象知初相 φ=0. 于是所求函数表达式是 y=2sin x,x∈［0,+∞). 点评:本例的实质是由函数图象求函数解析式,要抓住关键点.应用数学中重要的思想方 法——数形结合的思想方法,应让学生熟练地掌握这种方法. 变式训练 函 数 y=6sin( x- ) 的 振 幅 是 , 周 期 是 ____________, 频 率 是 ____________, 初 相 是 ___________,图象最高点的坐标是_______________. ω π2 T 1 π ω 2 4 5 ω π2 2 5π 2 5π 4 1 6 π解:6 8π (8kπ+ ,6)(k∈Z) 例 2 若函数 y=Asin(ωx+φ)+B(其中 A>0,ω>0)在其一个周期内的图象上有一个最高点 ( ,3)和一个最低点( ,-5),求这个函数的解析式. 活动:让学生自主探究题目中给出的条件,本例中给出的实际上是一个图象,它的解析式 为 y=Asin(ωx+φ)+B(其中 A>0,ω>0),这是学生未遇到过的.教师应引导学生思考它与 y=Asin(ωx+φ)的图象的关系,它只是把 y=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω>0)的图象向上(B>0) 或向下(B0)一个周期的图象如图 8 所示,求函数的解析式. 解:根据“五点法”的作图规律,认清图象中的一些已知点属于五点法中的哪一点,而选择对 应的方程 ωxi+φ=0, ,π, ,2π(i=1,2,3,4,5),得出 φ 的值. 方法一:由图知 A=2,T=3π, 由 =3π,得 ω= ,∴y=2sin( x+φ). 由“五点法”知,第一个零点为( ,0), ∴ · +φ=0φ=- , π8 1 6 π− 3 8π 12 π 12 π 2 1 2 1 2 T 12 7π 12 π 2 π 12 π 12 π 6 π 2 π 6 π 2 π 3 π 3 π 2 π 2 3π ω π2 3 2 3 2 4 3π 3 2 4 3π 2 π故 y=2sin( x- ). 方法二:得到 y=2sin( x+φ)同方法一. 由图象并结合“五点法”可知,( ,0)为第一个零点,( ,0)为第二个零点. ∴ · +φ=πφ= . ∴y=2sin( x- ). 点评:要熟记判断“第一点”和“第二点”的方法,然后再利用 ωx1+φ=0 或 ωx2+φ=π 求出 φ. 2.2007 海南高考,3 函数 y=sin(2x- )在区间［ ,π］上的简图是( ) 图 9 答案:A 知能训练 课本本节练习 3、4. 3.振幅为 ,周期为 4π,频率为 .先将正弦曲线上所有的点向右平行移动 个单位长度, 再在纵坐标保持不变的情况下将各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,最后在横坐标保持不变的 情况下将各点的纵坐标缩短到原来的 倍. 点评:了解简谐运动的物理量与函数解析式的关系,并认识函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 与正弦曲线的关系. 4. .把正弦曲线在区间［ ,+∞)的部分向左平行移动 个单位长度,就可得到函数 y=sin(x+ ),x∈［0,+∞)的图象. 点评:了解简谐运动的物理量与函数解析式的关系,并认识函数 y=sin(x+φ)的图象与正 弦曲线的关系. 课堂小结 3 2 2 π 3 2 4 3π 4 9π 3 2 4 9π 2 π− 3 2 2 π 3 π 2 π− 3 2 π4 1 4 π 3 2 12 π 12 π 12 π 12 π1.由学生自己回顾本节学习的数学知识:简谐运动的有关概念.本节学习的数学方法:由简单 到复杂、特殊到一般、具体到抽象的化归思想,数形结合思想,待定系数法,数学的应用价值. 2.三角函数图象变换问题的常规题型是:已知函数和变换方法,求变换后的函数或图象,这种 题目的解题的思路是:如果函数同名则按两种变换方法的步骤进行即可；如果函数不同名,则 将异名函数化为同名函数,且需 x 的系数相同.左右平移时,如果 x 前面的系数不是 1,需将 x 前面的系数提出,特别是给出图象确定解析式 y=Asin(ωx+φ)的题型.有时从寻找“五点法” 中的第一零点( ,0)作为突破口,一定要从图象的升降情况找准第一零点的位置. 作业 把函数 y=cos(3x+ )的图象适当变动就可以得到 y=sin(-3x)的图象,这种变动可以是( ) A.向右平移 B.向左平移 C.向右平移 D.向左平移 解:∵y=cos(3x+ )=sin( -3x)=sin[-3(x- )], ∴由 y=sin[-3(x- )]向左平移 才能得到 y=sin(-3x)的图象. 答案:D 点评:本题需逆推,教师在作业讲评时应注意加强学生逆向思维的训练.如本题中的 -3x 需写成-3(x- ),这样才能确保平移变换的正确性. 设计感想 1.本节课符合新课改精神,突出体现了以学生能力的发展为主线,应用启发式、讲述式引导学 生层层深入,培养学生自主探索及发现问题、分析问题和解决问题的能力.注重利用非智力因 素促进学生的学习,实现数学知识价值、思维价值和人文价值的高度统一. 2.由于本节内容综合性强,所以本节教案设计的指导思想是:在教师的引导下,让学生积极、 主动地提出问题,自主分析,再合作交流,达到殊途同归.在思维训练的过程中,感受数学知识 的魅力,成为学习的主人.新课改要求教师在新的教学理念下,要勇于,更要善于把问题抛给 学生,激发学生探求知识的强烈欲望和创新意识.教学的目的是以知识为平台,全面提升学生 的综合能力. ω ϕ− 4 π 4 π 4 π 12 π 12 π 4 π 4 π 12 π 12 π 12 π 4 π 12 π