第二章 平面向量
本章教材分析
1.丰富多彩的背景,引人入胜的内容.教材首先从力、位移等量讲清向量的实际背景以及研究
向量的必要性,接着介绍了平面向量的有关知识.学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面
向量及其运算的意义,能用向量语言与方法表述和解决数学、物理中的一些问题,发展运算能
力和解决实际问题的能力.平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础,从学
生熟知的功的概念出发,引出了平面向量数量积的概念及其几何意义,接着介绍了向量数量
积的性质、运算律及坐标表示.向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来,这样为解决
有关的几何问题提供了方便,特别能有效地解决线段的垂直问题.最后介绍了平面向量的应
用.
2.教学的最佳契机,全新的思维视角.
向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”,这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的.
反过来,向量的理论和方法,又成为解决物理学和工程技术的重要工具,向量之所以有用,关
键是它具有一套良好的运算性质,通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算,这样通
过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题.这一章的内容虽然概念多,但
大都有其物理上的来源,虽然抽象,却与图形有着密切的联系,向量应用的优越性也是非常明
显的.全新的思维视角,恰当的教与学,使得向量不仅生动有趣,而且是培养学生创新精神与
能力的极佳契机.
3.本章充分体现出新教材特点.
以学生已有的物理知识和几何内容为背景,直观介绍向量的内容,注重向量运算与数的运算
的对比,特别注意知识的发生过程.对概念、法则、公式、定理等的处理主要通过观察、比较、
分析、综合、抽象、概括得出结论.这一章中的一些例题,教科书不是先给出解法,而是先进
行分析,探索出解题思路,再给出解法.解题后有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数
学方法,有的还让学生进一步考虑相关的问题.对知识的处理,都尽量设计成让学生自己观察、
比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式,从而培养学生的思维能力.向量
的坐标实际上是把点与数联系起来,进而可把曲线与方程联系起来,这样就可用代数方程研
究几何问题,同时也可以用几何的观点处理某些代数问题.
4.本章教学约需 12 课时,具体分配如下,仅供参考.
标题 课时
2.1 平面向量的实际背景及基本概念 1 课时
2.2 向量的线性运算 3 课时
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2 课时
2.4 平面向量的数量积 2 课时
2.5 平面向量的应用举例 2 课时
本章复习 2 课时
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
整体设计
教学分析
本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据原有的位移、力等物理概念来
学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.由于向量来源于
物理,并且兼具“数”和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用,可通过几个
具体的例子说明它的应用.位移是物理中的基本量之一,也是几何研究的重要对象.几何中常
用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.位移简明地表示了点的位置之间的相对关系,它是向量的重要的物理模型.力是常见的物理量.重力、浮力、弹力等都是既
有大小又有方向的量.物理中还有其他力,让学生举出物理学中力的其他一些实例,目的是要
建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系,以此更加自然地引入向量概
念,并建立学习向量的认知基础.
三维目标
1.通过实例,利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性,理解平面向量的概念以
及确定平面向量的两个要素,搞清数量与向量的区别.
2.理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量等概念,并能判断向量之间的关系,并会辨
认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量.
3.在教学过程中,应充分根据平面向量的两个要素加以研究向量的关系,揭示向量可以平移
这一特性.
重点难点
教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量.
教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
课时安排
1 课时
教学过程
导入新课
思路 1.(情境导入)如图 1,在同一时刻,老鼠由 A 向西北方向的 C 处逃窜,猫在 B 处向正
东方向的 D 处追去,猫能否追到老鼠呢？学生马上得出结论:追不上,猫的速度再快也没用,
因为方向错了.教师适时设问:如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课.
图 1
思路 2.两列火车先后从同一站台沿相反方向开出,各走了相同的路程,怎样用数学式子
表示这两列火车的位移？从中国象棋中规定“马”走日,象走“田”,让学生在图上画出马、
象走过的路线引入也是一个不错的选择.
推进新课
新知探究
提出问题
①在物理课中,我们学过力的概念.请回顾一下力的三要素是什么？还有哪些量和力具有同
样特征呢?这些量的共同特征是什么？怎样利用你所学的数学中的知识抽象这些具有共同特
征的量呢？
②新的概念是对这些具有共同特征的量的描述,应怎样定义这样的量呢？
③数量与向量的区别在哪里？
活动:教师指导学生阅读教材,思考讨论并解决上述问题,学生讨论列举与位移一样的一
些量.物体受到的重力是竖直向下的,物体的质量越大,它受到的重力越大；物体在液体中受
到的浮力是竖直向上的,物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力就越大；速度与加速度都
是既有大小,又有方向的量；物理中的动量与矢量都有方向,且有大小；物理学中存在着许多
既有大小,又有方向的量.
教师引导学生观察思考这些量的共同特征,我们能否在数学学科中对这些量加以抽象,形
成一种新的量.至此时机成熟,引入向量,并把那些只有大小,没有方向的量,如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量,物理学上称为标量.显然数量和向量的区别就在于方向
问题.
讨论结果:
①略.
②我们把既有大小,又有方向的量叫做向量.物理中称为矢量.
③略.
提出问题
①如何表示向量?
②有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么?
③长度为零的向量叫什么向量？长度为 1 的向量叫什么向量?
④满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗?
⑤有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系？怎样定义平行向量?
⑥如果把一组平行向量的起点全部移到一点 O,它们是不是平行向量？这时各向量的终点之
间有什么关系?
⑦数量与向量有什么区别?
⑧数学中的向量与物理中的力有什么区别?
活动:教师指导学生阅读教材,通过阅读教材思考讨论以上问题.特别是有向线段,是学习
向量的关键.但不能说“向量就是有向线段,有向线段就是向量”,有向线段只是向量的一种
几何表示,二者有本质的区别.向量只由方向和大小决定,而与向量的起点的位置无关,但有
向线段不仅与方向、长度有关,也与起点的位置有关.如图 2,在线段 AB 的两个端点中,规定
一个顺序,假设 A 为起点、B 为终点,我们就说线段 AB 具有方向,具有方向的线段叫做有向线
段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作
.起点要写在终点的前面.
已知 ,线段 AB 的长度也叫做有向线段 的长度,记作 .有向线段包含三个
要素:起点、方向、长度.
图 2
知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定.
用有向线段表示向量的方法是:
1°起点是 A,终点是 B 的有向线段,对应的向量记作: .
这里要提醒学生注意 的方向是由点 A 指向点 B,点 A 是向量的起点.
2°用字母 a,b,c,…表示.(一定要学生规范书写:印刷用黑体 a,书写用 )
3°向量 (或 a)的大小,就是向量 (或 a)的长度(或称模),记作| |(或|a|).
教师要注意引导学生将数量与向量的模进行比较,数量有大小而没有方向,其大小有正、负和
0 之分,可进行运算,并可比较大小;向量的模是正数或 0,也可以比较大小.由于方向不能比
AB
AB AB |AB|
AB
AB
a
AB AB AB较大小,像 a＞b 就没有意义,而|a|>|b|有意义.
讨论结果:①向量也可用字母 a,b,c,…表示(印刷用粗黑体表示),手写用 a →来表示,或用表
示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如 、 .
注意:手写体上面的箭头一定不能漏写.
②有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,其有三个要素:起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别:向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,
则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小
和方向相同,也是不同的有向线段.
图 3
③长度为 0 的向量叫零向量,长度为 1 个单位长度的向量,叫单位向量.但要注意,零向量、单
位向量的定义都只是限制了大小.长度为 0 的向量叫做零向量,记作 0,规定零向量的方向是
任意的.长度等于 1 个单位的向量,叫做单位向量.
④长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
⑤是平行向量.平行向量定义的理解:第一,方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二,我
们规定 0 与任一向量平行即 0∥a.综合第一、第二才是平行向量的完整定义；向量 a,b,c 平
行,记作 a∥b∥c.如图 3.
图 4
又如图 4,a,b,c 是一组平行向量,任作一条与 a 所在直线 0 平行的直线 l,在 l 上任取一
点 O,则可在 l 上分别作出 ＝a, =b, =c.这就是说,任一组平行向量都可以移动
到同一直线上,因此,平行向量也叫做共线向量.
说明:平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系.
⑥是共线向量,也就是平行向量.但要注意,平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向
量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关).平行向量可以在同一直线上,要区别于两
平行线的位置关系；共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
⑦数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重性质,
不能比较大小.
⑧力有大小、方向、作用点三个要素,而数学中的向量是由物理中的力抽象出来的,只有大小
与方向两个要素,与起点的位置无关.
应用示例
例 1 如图 5,试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用有向线段表示 A 地至 B、C
两地的位移.(精确到 1 km)
AB CD
OA OB OC图 5
分析:本例是一个简单的实际问题,要求画出有向线段表示位移,目的在于巩固向量概念及其
几何表示.
解: 表示 A 地至 B 地的位移,且| |≈232 km;(AB 长度×8 000 000÷100 000)
表示 A 地至 C 地的位移,且| |≈296 km.(AC 长度×8 000 000÷100 000)
点评:位置是几何学研究的重要内容之一,几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位
置确定另外一点的位置.如图 5,由 A 点确定 B 点、C 点的位置.
变式训练
一个人从 A 点出发沿东北方向走了 100m 到达 B 点,然后改变方向,沿南偏东 15°方向又走
了 100 m 到达 C 点,求此人从 C 点走回 A 点的位移.
图 6
解:根据题意画出示意图,如图 6 所示.
| |=100 m,| |=100 m,∠ABC=45°+15°=60°,
∴△ABC 为正三角形.
∴| |=100 m,即此人从 C 点返回 A 点所走的路程为 100 m.
∵∠BAC=60°,
∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=15°,即此人行走的方向为西偏北 15°.
故此人从 C 点走回 A 点的位移为沿西偏北 15°方向 100 m.
图 7
例 2 判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
(1) ABCD 中, 与 是共线向量;
(2)单位向量都相等.
活动:教师引导学生画出平行四边形,如图 7.
因为 AB//CD,所以 ∥ .由于上面已经明确,单位向量只限制了大小,方向不确定,
AB AB
AC AC
AB BC
CA
AB CD
AB CD所以单位向量不一定相等,即单位向量模均相等且为 1,但方向不确定.
解:(1)正确;
(2)不正确.
点评:本题考查基本概念,对于单位向量、平行向量的概念特征及相互关系必须把握好.
图 8
例 3 如图 8,设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,分别写出图中所示向量与 相等的
量.
活动:本例是结合正六边形的一些几何性质,让学生巩固相等向量和平行向量的概念,正
六边形是边长等于半径并且对边互相平行的正多边形,它既是轴对称图形,又是中心对称图
形,具有丰富的几何性质.教科书中要求判断 与 , 与 是否相等,是要通过长
度相等方向相反的两个向量的不等,让学生从反面认识向量相等的概念.
解: = = ; = = ; = = = .
点评:向量相等是一个重要的概念,今后经常用到.让学生在训练中明确,向量相等不仅大
小相等,还要方向相同.
变式训练
本例变式一:与向量 长度相等的向量有多少个？(11 个)
本例变式二:是否存在与向量 长度相等、方向相反的向量？(存在)
例 4 下列命题正确的是( )
A.a 与 b 共线,b 与 c 共线,则 a 与 c 也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量 a 与 b 不共线,则 a 与 b 都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
活动:由于零向量与任一向量都共线,所以 A 不正确.由于数学中研究的向量是自由向量,
所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平
行四边形的四个顶点,所以 B 不正确.向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同
无关,所以 D 不正确.对于 C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若
a 与 b 不都是非零向量,即 a 与 b 至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有
a 与 b 共线,不符合已知条件,所以有 a 与 b 都是非零向量,即只有 C 正确.
答案:C
点评:对于有关向量基本概念的考查,可以从概念特征入手,也可以从反面进行考虑.即要
判断一个结论不正确,只需举一个反例即可.要启发学生注意这两方面的结合.
变式训练
1.判断:
(1)平行向量是否一定方向相同？(不一定)
、OC、OB、OA
OA EF OB AF
OA CB DO OB DC EO OC AB ED FO
OA
OA(2)不相等的向量是否一定不平行？(不一定)
(3)与零向量相等的向量必定是什么向量？(零向量)
(4)与任意向量都平行的向量是什么向量？(零向量)
(5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量？(平行向量)
(6)两个非零向量相等当且仅当什么？(长度相等且方向相同)
(7)共线向量一定在同一直线上吗？(不一定)
2.把一切单位平面向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是( )
A.一条线段 B.一段圆弧 C.两个点 D.一个圆
答案:D
3.将平行于一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点,则这些向量的终点所构成的图形
是( )
A.一个点 B.两个点
C.一个圆 D.一条线段
答案:B
知能训练
课本本节练习.
解答:
1.通过具体的例子,让学生动手画两个方向不同、大小不等的力(向量),图略.
2.| |,| |,这两个向量的长度相等,但它们不等.
点评:向量是既有大小,又有方向的量.长度相等的两个向量未必是两个相等的量.
3.| |=2,| |=2.5,| |=3,| |=2 .
点评:方格纸是学生学习几何、向量等内容的好工具.在方格纸中,长度和角度非常容易表现.
建议在向量内容的学习中把方格纸作为重要的学具.
4.(1)它们的终点相同;(2)它们的终点不同.
点评:方向相同的两个向量,如果它们的起点相同,它们的终点只与长度有关.
课堂小结
本节课从平面向量的物理背景和几何背景入手,利用类比的方法,介绍了向量的两种表示
方法:几何表示和字母表示,几何表示为用向量处理几何问题打下了基础,字母表示则利于向
量的运算；然后又介绍了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念,这些概念
是进一步学习后续课程的基础,必须要在理解的基础上把握好.
作业
课本习题 2.1 1、2.
设计感想
本节是平面向量的第一节,显然属于“概念课”,概念的理解无疑是重点,但也是难点.本
教案设计的指导思想是:把学生划分小组合作讨论学习,经过小组成员们的合作探究,对平面
向量的基本概念和基本解题方法都明了了不少,应该有很多的成功之处或收获.对失败或教
训之处可能是由于一些概念性问题没有深入研究,导致解题存在困难,不过这些会通过学习
的深入弥补过来的.
作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学以后,给中学数学带来了无限生机.通过
本节具体问题的解决,让学生体会到数学在生活中的重要作用,并在实际课堂教学中规范学
生的习惯,培养严谨的思考习惯和代数与几何相结合的习惯,为后面学习打下基础.
AB BA
AB CD EF GH 2
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