等腰三角形（二）教学设计.doc

1 第一章 三角形的证明 1. 等腰三角形（二） 一、学生知识状况分析 在八年级上册第七章《平行线的证明》，学生已经感受了证明的必要性，并通过平行线有 关命题的证明过程，习得了一些基本的证明方法和基本规范，积累了一定的证明经验；在七 年级下，学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题；而前一课时，学 生刚刚证明了等腰三角形的性质，这为本课时拓展等腰三角形的性质、研究等要三角形的判 定定理都做了很好的铺垫。 二、教学任务分析 本节将利用前一课时所证明的等腰三角形的性质定理，进一步研究等腰三角形的一些特 殊性质，探索等边三角形的性质。为此，确定本节课的教学目标如下： 1．知识目标： ①探索——发现——猜想——证明等腰三角形中相等的线段，进一步熟悉证明的基本步 骤和书写格式，体会证明的必要性； 2．能力目标： ①经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然 延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力； ②在命题的变式中，发展学生提出问题的能力，拓展命题的能力，从而提高学生的学习 能力和思维能力，提高学生学习的主体性； ③在图形的观察中，揭示等腰三角形的本质：对称性，发展学生的几何直觉； 3．情感与价值观要求 ①鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲． ②体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性． 4．教学重、难点 重点：经历“探索——发现一一猜想——证明”的过程，能够用综合法证明有关三角形 和等腰三角形的一些结论． 三、教学过程分析2 本节课设计了六个教学环节：第一环节：提出问题，引入新课；第二环节：自主探究； 第三环节：经典例题 变式练习；第四环节：拓展延伸、探索等边三角形性质； 第五环节： 随堂练习 及时巩固 ；第六环节：探讨收获 课时小结。 第一环节：提出问题，引入新课 活动内容：在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题： 在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线 段吗?你能证明你的结论吗? 活动目的：回顾性质，既为后续研究判定提供了基础；同时，直接提出新的问题，过渡 自然，引入本课研究内容，而新的问题是原有性质的一个自然拓广，有助于提高学生提出问 题的能力。 第二环节：自主探究 活动内容：在等腰三角形中自主作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，观察其中有 哪些相等的线段，并尝试给出证明。 活动目的：让学生再次经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，进一步体会证 明的必要性，并进行证明，从中进一步体会证明过程，感受证明方法的多样性。 活动效果与注意事项：活动中，教师应注意给予适度的引导，如可以渐次提出问题： 你可能得到哪些相等的线段？ 你如何验证你的猜测？ 你能证明你的猜测吗？试作图，写出已知、求证和证明过程； 还可以有哪些证明方法？ 通过学生的自主探究和同伴的交流，学生一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究 出： 等腰三角形两个底角的平分线相等； 等腰三角形腰上的高相等； 等腰三角形腰上的中线相等． 并对这些命题给予多样的证明。 如对于“等腰三角形两底角的平分线相等”，学生得到了下面的证明方法： 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，BD、CE 是△ABC 的角平分线． 求证：BD=CE． 4 2 3 1 E D CB A3 证法 1：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)． ∵∠1=1 2∠ABC，∠2=1 2∠ABC， ∴∠1=∠2． 在△BDC 和△CEB 中， ∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2． ∴△BDC≌△CEB(ASA)． ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等) 证法 2：证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB． 又∵∠3=∠4． 在△ABC 和△ACE 中， ∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A． ∴△ABD≌△ACE(ASA)． ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)． 在证明过程中，学生思路一般还较为清楚，但毕竟严格证明表述经验尚显不足，因此， 教学中教师应注意对证明规范提出一定的要求，因此，注意请学生板书其中部分证明过程， 借助课件展示部分证明过程；可能部分学生还有一些困难，注意对有困难的学生给予帮助和 指导。 第三环节：经典例题 变式练习 活动内容：提请学生思考，除了角平分线、中线、高等特殊的线段外，还可以有哪些线 段相等？并在学生思考的基础上，研究课本“议一议”： 在课本图 1—4 的等腰三角形 ABC 中， (1)如果∠ABD=1 3∠ABC，∠ACE=1 4∠ACB 呢?由此，你能得到一个什么结论? (2)如果 AD=1 2AC，AE=1 2AB，那么 BD=CE 吗?如果 AD=1 3AC，AE=1 3AB 呢?由此你得到什么结论? 活动目的：提高学生变式能力、问题拓广能力，发展学生学习的自主性。 活动注意事项与效果：教学中应注意对学生的引导，因为学生先前这样的经验比较少， 可能学生一时不知如何研究问题，教师可以引导学生思考：把底角二等份的线段相等．如果 是三等份、四等份……结果如何呢?从而引出“议一议”。4 由于课堂时间有限，如果学生全部解决上述问题，时间不够，可以在引导学生提出上述 这些问题的基础上，让学生证明其中部分问题，而将其余问题作为课外作业，延伸到课外； 当然，也可以对不同的学生提出不同的要求，如普通学生仅仅证明其中部分问题，而要求部 分学优生解决所有的问题，甚至要求这部分学优生思考“还可以提出哪些类似问题，你是如 何想到这些问题的”。 在学生解决问题的基础上，教师还应注意揭示蕴含其中的思想方法。 下面是学生的课堂表现： [生]在等腰三角形 ABC 中，如果∠ABD=1 3∠ABC，那么 BD=CE．这和证明等腰三角形两底角 的角平分线相等类似．证明如下： ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)． 又∵∠ABD=1 3∠ABC, ∴∠ACE=1 3∠ACB, ∴∠ABD=∠ACE． 在△BDC 和△CEB 中， ∵∠ABD=∠ACE，BC=CB，∠ACB=∠ABC, ∴△BDC≌△CEB(ASA)． ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等) [生]如果在△ABC 中，AB=AC, ∠ABD= 1 4∠ABC，∠ACE=∠ 1 4∠ACB，那么 BD=CE 也是成立 的．因为 AB=AC，所以∠ABC=∠ACB，利用等量代换便可得到∠ABD=∠ACE，△BDC 与△CEB 全 等的条件就能满足，也就能得到 BD=CE．由此我们可以发现： 在△ABC 中，AB=AC，∠ABD=∠1 n∠ABC，∠ACE=1 n∠ACB，就一定有 BD=CE 成立． [生]也可以更直接地说：在△ABC 中，AB=AC，∠ABD=∠ACE，那么 BD=CE． [师]这两位同学都由特殊结论猜想出了一般结论．请同学们把一般结论的证明过程完整 地书写出来．(教师可巡视指导)下面我们来讨论第(2)问，请小组代表发言． [生]在△ABC 中，AB=AC，如果 AD=1 2AC，AE=1 2AB，那么 BD=CE；如果 AD=1 3AC，AE=1 3AB，那 么 BD=CE．由此我们得到了一个更一般的结论：在△ABC 中，AB=AC，AD=1 nAC，AE=1 nAB，那么 BD=CE．证明如下： ∵AB=AC．5 又∵AD=1 nAC，AE=1 nAB， ∴AD=AE． 在△ADB 和△AEC 中， AB=AC，∠A=∠A，AD=AE， ∴△ADB≌△AEC(SAS)． ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)． [生]一般结论也可更简洁地叙述为：在△ABC 中，如果 AB=AC，AD=AE，那么 BD=CE． [师]这里的两个问题都是由特殊结论得出更一般的结论，这是我们研究数学问题常用的 一种思想方法，它会使我们得到意想不到的效果．例如通过对这两个问题的研究，我们可以 发现等腰三角形中，相等的线段有无数组．这和等腰三角形是轴对称图形这个性质是密不可 分的． 第四环节：拓展延伸，探索等边三角形性质 活动内容：提请学生在上面等要三角形性质定理的基础上，思考等边三角形的特殊性质： 等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于 60°. 已知：如图，ΔABC 中，AB=BC=AC． 求证：∠A=∠B=∠C=60°. 证明：在ΔABC 中，∵AB=AC，∴∠B=∠C(等边对等角)． 同理：∠C=∠A，∴∠A=∠B=∠C（等量代换）． 又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理），∴∠A=∠B=∠C＝60°． 活动效果：学生一般都能得到这些定理的证明，能规范地写出对于“等边三角形三个内 角都相等并且每个内角都等于 60°”的证明过程： 第五环节： 随堂练习 及时巩固 活动内容：在探索得到了等边三角形的性质的基础上，让学生独立完成以下练习。 1.如图,已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形. 求证:AE=CD 活动意图：在巩固等边三角形的性质的同时，进一步掌握综合证明法的基本要求和步 骤，规范证明的书写格式。 E D CB A6 第六环节：探讨收获 课时小结 本节课我们通过观察探索、发现并证明了等腰三角形中相等的线段，并由特殊结论归纳 出一般结论， 四、教学反思 本节课关注了问题的变式与拓广，实际上引领学生经历了提出问题、解决问题的过程， 因而较好地提高了学生的研究能力、自主学习能力，但也应注意根据学生的情况进行适度的 调整，因为学生先前这样的经验较少，因而对一些班级学生而言，完成全部这些教学任务， 可能时间偏紧，为此，教学中可以适当减少一些内容，将部分内容延伸到课外，当然，也可 以设计为两个课时，将研究过程进一步展开。