等腰三角形（三）.doc

第一章 三角形的证明 1. 等腰三角形（三） 一、学生知识状况分析 本节课是等腰三角形的第三课时，通过前面两课时的学习，学生已经掌握 了等腰三角形的相关性质，并知道了用综合法证明命题的基本要求和步骤。为学 习等腰三角形的判定定理奠定了知识和方法的基础。 二、教学任务分析 本节课的主要任务是探索等腰三角形的判定定理，在复习性质定理的基础 上，引导学生反过来思考猜想新的命题，并进行证明。这样可以发展学生的逆向 思维能力，同时引入反证法的基本证明思路，学习与运用反证法也成为本课时的 教学任务之一。因此，本节课的教学目标定为： 1．探索等腰三角形判定定理． 2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明． 3.了解反证法的基本证明思路，并能简单应用。 4.培养学生的逆向思维能力。 三、教学过程分析 本节课的教学过程设计了以下六个环节：复习引入--逆向思考，定理证明--- 巩固练习----适时提问 导出反证法---拓展延伸----课堂小结。 第一环节：复习引入 活动过程：通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求 学生独立思考后再进交流。 问题 1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是 什么？ 问题 2.我们是如何证明上述定理的？ 问题 3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？如果一个三角形有 两个角相等，那么这两个角所对的边也相等？ 活动意图：设计是问题串是为引出等腰三角形的判定定理埋下伏笔。学生 独立思考是对上节课内容有效地检测手段。第二环节：逆向思考，定理证明 活动过程与效果： 教师：上面，我们改变问题条件，得出了很多类似的结论，这是研究问题的 一种常用方法，除此之外，我们还可以“反过来”思考问题，这也是获得数学结 论的一条途径．例如“等边对等角”，反过来成立吗?也就是：有两个角相等的三 角形是等腰三角形吗? [生]如图，在△ABC 中，∠B=∠C，要想证明 AB=AC，只要构造两个全 等的三角形，使 AB 与 AC 成为对应边就可以了． [师]你是如何想到的? [生]由前面定理的证明获得启发，比如作 BC 的中线，或作 A 的平分 线，或作 BC 上的高，都可以把△ABC 分成两个全等的三角形． [师]很好．同学们可在练习本上尝试一下是否如此，然后分组讨论． [生]我们组发现，如果作 BC 的中线，虽然把△ABC 分成了两个三角形，但无 法用公理和已证明的定理证明它们全等．因为我们得到的条件是两个三角形对应 两边及其一边的对角分别相等，是不能够判断两个三角形全等的．后两种方法是 可行的． [师]那么就请同学们任选一种方法按要求将推理证明过程书写出来．(教师 可让两个同学在黑板上演示，并对推理证明过程讲评) (证明略) [师]我们用“反过来”思考问题，获得并证明了一个非常重要的定理——等 腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．这一定理可以简单 叙述为：等角对等边．我们不仅发现了几何图形的对称美，也发现了数学语言的 对称美． 第三环节：巩固练习 活动过程与效果：将书中的随堂练习提前到此，是为了及时巩固判定定理。 引导学生进行分析。 已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，AD∥BC 且∠1=∠2． 求证：AB=AC． 证明：∵AD∥BC， CB A∴∠1=∠B(两直线平行，同位角相等)， ∠2=∠C(两直线平行，内错角相等)． 又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C． ∴AB=AC(等角对等边)． 第四环节：适时提问 导出反证法 活动过程与效果： 我们类比归纳获得一个数学结论，“反过来”思考问题也获得了一个数学结 论．如果否定命题的条件，是否也可获得一个数学结论吗?我们一起来“想一 想”： 小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不 相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗? 有学生提出：“我认为这个结论是成立的．因为我画了几个三角形，观察并 测量发现，如果两个角不相等，它们所对的边也不相等．但要像证明“等角对等 边”那样却很难证明，因为它的条件和结论都是否定的．”的确如此．像这种从 正面人手很难证明的结论，我们有没有别的证明思路和方法呢? 我们来看一位同学的想法： 如图，在△ABC 中，已知∠B≠∠C，此时 AB 与 Ac 要么相等， 要么不相等． 假设 AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但 已知条件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此 AB≠AC 你能理解他的推理过程吗? 再例如，我们要证明△ABC 中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证 法，假设有两个角是直角，不妨设∠A=90°，∠B=90°，可得∠A+∠B=180°， 但△AB∠A+∠B+∠C=180°, “∠A+∠B=180°”与“∠A+∠B+∠C=180°”相矛 盾，因此△ABC 中不可能有两个直角． 引导学生思考：上一道面的证法有什么共同的特点呢?引出反证法。 都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过 的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这也是证明命题的一种方法，我 们把它叫做反证法． CB A C 2 1 B A D接着用“反过来”思考问题的方法获得并证明了等腰三角形的判定定理“等 角对等边”，最后结合实例了解了反证法的含义． 第五环节：拓展延伸 活动过程与效果：在一节课结束之际，为培养学生思维的综合性、灵活性 特安排了 2 个练习。一个是通过平行线、角平分线判定三角形的形状，再通过线 段的转换求图形的周长。另一个是一个开放性的问题，考察学生多角度多维度思 考问题的能力。学生在独立思考的基础上再小组交流。 1.如图，BD 平分∠CBA，CD 平分∠ACB，且 MN∥BC，设 AB=12，AC=18，求△ AMN 的周长. . 2.现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点出发,将原纸片一次剪开成两 块等腰三角形纸片,问此时的等腰三角形的顶角的度数? 第六环节：课堂小结 （1）本节课学习了哪些内容？ （2）等腰三角形的判定方法有哪几种？ （3）结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判定的区别和联系． （4）举例谈谈用反证法说理的基本思路 NM CB A D