教学目标：
1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推
理在数学发现中的作用．
2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一
些简单推理．
3．了解直接证明的基本方法：分析法、综合法和数学归纳法；了解分析法、
综合法和数学归纳法的思考过程、特点．
4．了解本章知识结构，进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成
对数学的完整认识．
教学重点：
了解本章知识结构，进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对
数学的完整认识．
教学难点：
认识数学本质，把握数学本质，灵活选择并运用所学知识解决问题．
教学过程：
一、 知识回顾
本章知识结构：基础知识过关：
（1）合情推理包括 推理、 推理．
（2） 称为归纳推理；它是一种由 到 ，
由 到 的推理．
（3） 称为类比推理；它是一种由 到
的推理．
（4）归纳推理的一般步骤是：① ，② ．
（5）类比推理的一般步骤是：① ，② ．
（6）从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们称这种推理
为 ，它是一种 到 的推理．
（7） 和 是直接证明的两种基本方法．
（8）反证法证明问题的一般步骤：① ，② ，
③ ；④ ．
（9）数学归纳法的基本思想 ；
数学归纳法证明命题的步骤：① ，② ，
③ ．
二、数学运用
例 1 （1）考察下列一组不等式：23＋53＞22·5＋2·5 2，24＋54＞23·5＋2·5 3，25
＋55＞23·52＋22·53，…．将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，
使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是 ．
（2）在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1∶2，则它们的面积比为 1∶
4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为 1∶2，则它们的体积比
为 ．
（3）若数列{an}是等差数列，对于 bn＝ (a1＋a2 ＋…＋an)，则数列{bn}也是
等差数列．类比上述性质，若数列{cn}是各项都为正数的等比数列，对于 dn＞0，
则 dn＝ 时，数列{dn}也是等比数列．
解 （1） ；
（2）体积比为 1∶8；
（3） ．
1
n
( 0 )m n m n m n n ma b a b a b a b a b m n ∗N＋ ＋＋ ＞ ＋ ， ＞ ， ≠ ， ， ∈
1 2
n
nc c c n ∗N， ∈说明 （1）是从个别情况到一般情况的合情推理；
（2）是从平面到空间的类比推理；
（3）是从等差数列到等比数列的类比推理．
例 2 若△ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，分别用综合法和分析法证
明： ．
证明 （分析法）要证 ，
只需证 ，
即证 ，
∵△ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，∴C＝60°，
由余弦定理得 ，即 ，
故原命题成立．
（综合法）∵△ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，∴C＝60°，
由余弦定理得 ，即 ，
或 ，
两边同除以 得 ．
说明 分析法和综合法是两种常用的直接证明方法．分析法的特点是执果索
因，综合法的特点是由因导果，分析法常用来探寻解题思路，综合法常用来书写
解题过程．
例 3 已知 a，b，c∈(0，1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不能同时大于
．
分析 “不能同时大于 ”包含多种情形，不易直接证明，可考虑反证法．
证明：假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 同时大于 ，
即 (1－a)b＞ ，(1－b)c＞ ，(1－c)a＞ ，
∵a，b，c∈(0，1)，
∴三式同向相乘得(1－a)b(1－b)c(1－c)a＞ ，
1
4
1
4
1
4
1
4
1c a
a b b c
＋ ＝＋ ＋
1c a
a b b c
＋ ＝＋ ＋
( ) ( ) ( )( )c b c a a b a b b c＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋
2 2 2c a ac b＋ ＝ ＋
2 2 2 2 cos60b a c ac＝ ＋ － 2 2 2c a ac b＋ ＝ ＋
2 2 2 2 cos60b a c ac＝ ＋ － 2 2 2c a ac b＋ ＝ ＋
( ) ( ) ( )( )c b c a a b a b b c＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋
( )( )a b b c＋ ＋ 1c a
a b b c
＋ ＝＋ ＋
4
1
4
1
1
64又 ，
同理 ， ，
∴(1－a)b(1－b)c(1－c)a＞ ，这与假设矛盾，故原命题得证．
说明 反证法属于“间接证明法”，是从反面的角度思考问题的证明方法．用
反证法证明命题“若 p 则 q”时，可能会出现以下三种情况：
（1）导出非 p 为真，即与原命题的条件矛盾；
（2）导出 q 为真，即与假设“非 q 为真”矛盾；
（3）导出一个恒假命题．
使用反证法证明问题时，准确地作出反设（即否定结论），是正确运用反证法
的前提．当遇到否定性、惟一性、无限性、至多、至少等类型问题时，常用反证
法．
例 4 已知数列{an}，an ≥0，a1＝0，an＋12＋an＋1－1＝ an 2(n∈N*)
记 Sn＝a1＋a2＋…＋an．Tn
．
求证：当 n∈N*时，（1）an＜an＋1 ；（2）Sn＞n－2 ；（3）Tn＜3．
解 （1）证明：用数学归纳法证明．
① n＝1 时，因为 a2 是方程 x2＋x－1＝0 的正根，所以 a1＜a2．
② 设当 n＝k(k∈N*)时，ak＜ak＋1，
因为 ak＋12－ak2＝(ak＋22＋ak＋2－1)－(ak＋12＋ak＋1－1)
＝(ak＋1－ak＋1) (ak＋1＋ak＋1＋1)，
所以 ak＋1＜ak＋2．
即当 n＝k＋1 时，an＜an＋1 也成立．
根据①和②，可知 an＜an＋1 对任何 n∈N*都成立．
（2）证明：由 ak＋12＋ak＋1－1＝ak2，k＝1，2，…，n－1（n≥2），
得 an2＋(a2＋a3＋…＋an)－(n－1)＝a12．
因为 a1＝0，所以 Sn＝n－1－an2．
由 an＜an＋1 及 an＋1＝1＋an2－2an＋12＜1，得 an＜1，
所以 Sn＞n－2．
21 1(1 ) ( )2 4
a aa a － ＋－ ≤ ＝
1(1 ) 4b c－ ≤ 1(1 ) 4c a－ ≤
1
64
1 1 2 1 2
1 1 1
1 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )na a a a a a
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅＝ ＋ ＋ ＋＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋（3）证明：由 ak＋12＋ak＋1＝1＋ak2≥2 ak，得
( k＝2，3，…，n－1，n≥3)
所以 ( a≥3)，
于是 ＝ ＜ ( n≥3)，
故当 n≥3 时， ，
又因为 T1＜T2＜T3，
所以 Tn＜3．
三、学生总结
引导学生从知识、方法、收获三个方面进行小结，明确推理、归纳推理的概
念及彼此间的关系．认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能
力．
四、课后作业
教材第 102—103 页复习题第 3 题，第 4 题，第 5 题，第 9 题，第 12 题，第 13
题．
1
1
1
1 2
k
k k
a
a a
＋
＋
≤＋
2 2
3 4 2 2
1
(1 )(1 ) (1 ) 2 ( )
n
n
n
a
a a a a a−⋅⋅⋅ ≤＋ ＋ ＋ ＋
2 2
3 4 2 2
1
(1 )(1 ) (1 ) 2 ( )
n
n
n
a
a a a a a−⋅⋅⋅ ≤＋ ＋ ＋ ＋ 22
n
n
a
− 2
1
2n−
2
1 11 1 32 2n nT ⋅⋅⋅ －＜ ＋ ＋ ＋ ＋ ＜
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