直接证明与间接证明1（理）(选修2-2).doc

§ 2.2.1 综 合 法 和 分 析 法 (1) 【 学 情 分 析 】 ： 前 一 阶 段 刚 刚 学 习 了 人 们 在 日 常 活 动 和 科 学 研 究 中 经 常 使 用 的 两 种 推 理 — — 合 情 推 理 和 演 绎 推 理 。数 学 结 论 的 正 确 性 必 须 通 过 逻 辑 推 理 的 方 式 加 以 证 明 。这 是 数 学 区 别 于 其 他 学 科 的 显 著 特 点 。 本 节 学 习 两 类 基 本 的 证 明 方 法 ： 直 接 证 明 与 间 接 证 明 。 在 以 前 的 学 习 中 ， 学 生 已 经 接 触 过 用 综 合 法 、 分 析 法 和 反 证 法 证 明 数 学 命 题 ， 但 他 们 对 这 些 证 明 方 法 的 内 涵 和 特 点 不 一 定 非 常 清 楚 ，逻 辑 规 则 也 会 应 用 不 当 。本 部 分 结 合 学 生 已 学 过 的 数 学 知 识 ， 通 过 实 例 引 导 学 生 分 析 这 些 基 本 证 明 方 法 的 电 教 过 程 与 特 点 ， 并 归 纳 出 操 作 流 程 框 图 ，使 他 们 在 以 后 的 学 习 和 生 活 中 ，能 自 觉 地 、有 意 识 地 运 用 这 些 方 法 进 行 数 学 证 明 ， 养 成 言 之 有 理 、 论 证 有 据 的 习 惯 。 【 教 学 目 标 】 ： （ 1） 知 识 与 技 能 ： 结 合 已 学 过 的 数 学 实 例 ， 了 解 直 接 证 明 的 两 种 基 本 方 法 — — 综 合 法 和 分 析 法 ； 了 解 综 合 法 、 分 析 法 的 思 考 过 程 、 特 点 （ 2） 过 程 与 方 法 ： 能 够 运 用 综 合 法 、 分 析 法 证 明 数 学 问 题 （ 3） 情 感 态 度 与 价 值 观 ： 通 过 本 节 课 的 学 习 ， 感 受 逻 辑 证 明 在 数 学 以 及 日 常 生 活 中 的 作 用 ， 养 成 言 之 有 理 ， 论 证 有 据 的 习 惯 【 教 学 重 点 】 ： 了 解 综 合 法 、 分 析 法 的 思 考 过 程 、 特 点 ； 运 用 综 合 法 、 分 析 法 证 明 数 学 问 题 。 【 教 学 难 点 】 ： 根 据 问 题 特 点 ， 选 择 适 当 的 证 明 方 法 证 明 数 学 问 题 。 【 教 学 过 程 设 计 】 ： 教学环 节 教学活动 设计意图 一、 提出 问题 1. 比 较 生 ： 。 2. 生 ： 讨 论 、 交 流 完 成 ， 对 比 解 答 通 过 复 习 导 入 新 课 通 过 典 型 数 学 实 例 ， 概 括 综 合 法 的 特 点 二 、 综 合 法 定 义 综 合 法 ： 一 般 地 ， 利 用 已 知 条 件 和 某 些 数 学 定 义 、 公 理 、 定 理 等 ， 经 过 一 系 列 的 推 理 论 证 ， 最 后 推 导 出 所 要 证 明 的 结 论 成 立 ， 这 种 证 明 方 法 叫 做 综 合 法 。（也 形 象 地 称 为 “ 顺 推 证 法 ” 或 “ 由 因 导 果 法 ”） 阅 读 课 本 P85 倒 数 第 3 行 ： 流 程 框 图 更 直 观 了 解 综 合 法 的 证 明 过 程 三 、 应 用 1.例 1． 在 中 ， 三 个 内 角 A， B， C 的 对 边 分 别 为 a,b,c， 且 A， B， C 成 等 差 数 列 ， a,b,c 成 等 比 数 列 ， 求 证 ： 为 等 边 三 角 形 。 [几 何 画 板 ] 证 明 ： 由 A， B， C 成 等 差 数 列 ， 有 2B=A+C ① ∵ A， B， C 为 的 内 角 ∴ A+B+C=π ② 由 ① ② 得 ③ 由 a,b,c 成 等 比 数 列 ， 有 ④ ∵ 由 ④ ， 得 即 强 调 分 析 过 程 和 思 考 过 程 ， 尤 其 是 本 题 的 文 字 语 言 与 符 号 语 言 的 转 换 （ 2B=A+C），隐含 条 件 的 显 性 化（ A+B+C=π ），通 过 寻 找 条 件 和 结 论 间 的 联 系 ， 就 可 直 接 从 已 知 条 件 和 余 弦 定 理 出 发 ， 证 明 问 题 。 例 题 起 到 运 用 综 合 法 证 题 的 示 范 作 用 ， 注 意 规 范 化 表 达 。 2 2 2a b ab+ 与 的大小关系. abba 222 ≥+ 2 2 2 2 , 0, : ( ( 4 a b a b c b c a abc > + + ≥ 已知: 求证 ) + ) ABC ABC ABC 3B π= 2b ac= 2 2 2 2 22 cosb a c ac B a c ac= + − = + − 2 2a c ac ac+ − = 2( ) 0a c− =因 此 a=c 从 而 有 A=C ⑤ 由 ② ③ ⑤ ， 得 所 以 为 等 边 三 角 形 。 四 、 练 习 巩 固 1. P89.1 2. 补 充 ： 已 知 :xy>0,求 证 ： [几 何 画 板 ] 证 明 ： （ 学 生 板 演 练 习 ） 及 时 讲 评 学 生 板 演 过 程 中 出 现 的 问 题 五、 提出 问题 师 ： 要 证 明 成 立 ， 需 要 什 么 条 件 ？ 生 ： 需 要 ： 师 ： 要 证 明 成 立 ， 只 需 证 什 么 条 件 ？ 生 ： 需 要 ： 师 ： 要 证 明 成 立 ， 需 要 什 么 条 件 ？ 生 ： 需 要 ： 师 ： 是 否 成 立 ？ 生 ： 是 的 师 ： 上 面 的 分 析 过 程 ， 即 给 出 分 析 法 的 实 例 。 详 细 的 板 书 推 导 利 于 学 生 总 结 归 纳 出 分 析 法 的 思 考 过 程 和 特 点 引 导 学 生 概 括 出 分 析 法 的 特 点 六 、 分 析 法 定 义 分 析 法：一 般 地 ， 从 要 证 明 的 结 论 出 发 ， 逐 步 寻 求 使 它 成 立 的 充 分 条 件 ， 直 至 最 后 ， 把 要 证 明 的 结 论 归 结 为 判 定 一 个 明 显 成 立 的 的 条 件 （ 已 知 条 件 、 定 理 、 定 义 、 公 理 等 ） 为 止 。 这 种 证 明 的 方 法 叫 做 分 析 法 。 （ 也 形 象 地 称 为 “ 逆 推 证 法 ” 或 “ 执 果 索 因 法 ”） 阅 读 课 本 P97.流 程 框 图 更 直 观 了 解 分 析 法 的 证 明 过 程 七 、 应 用 1. 例 2． 求 证 ： 证 明 ： ∵ 和 4 都 是 正 数 ∴ 为 了 证 明 只 需 证 明 展 开 得 ： 只 需 证 15 x y y xxy 41 2,21 ≥+++ ≥+≥+∴ y x x y xyxy x y y x xyxy 则 2 a b ab + ≥ 2a b ab+ ≥ 2a b ab+ ≥ 2 0a b ab+ − ≥ 2 0a b ab+ − ≥ 2( ) 0a b− ≥ 2( ) 0a b− ≥ 2 a b ab + ≥ ⇐ 2a b ab+ ≥ ⇐ 2 0a b ab+ − ≥ ⇐ 2( ) 0a b− ≥ 3 5 4+ < 3 5+ 3 5 4+ < 2 2( 3 5) 4+ < 8 2 15 16 15 4+ <