§ 2.2.1 综 合 法 和 分 析 法 (2)
【 学 情 分 析 】 ：
前 两 节 课 分 别 学 习 了 综 合 法 与 分 析 法 的 思 考 过 程 、 特 点 。 本 节 是 在 前 两 节 课 的 基 础
上 继 续 运 用 综 合 法 与 分 析 法 证 明 数 学 问 题 。在 解 决 问 题 时 ，往 往 会 将 这 两 种 直 接 证 明 的
方 法 结 合 起 来 使 用 ， 本 节 课 的 例 4 就 是 运 用 这 种 证 明 方 式 。
【 教 学 目 标 】 ：
（ 1）知 识 与 技 能：进 一 步 了 解 直 接 证 明 的 两 种 基 本 方 法 — — 综 合 法 与 分 析 法 的 思 考 过 程 、
特 点
（ 2） 过 程 与 方 法 ： 进 一 步 运 用 综 合 法 、 分 析 法 证 明 数 学 问 题
（ 3） 情 感 态 度 与 价 值 观 ： 通 过 本 节 课 的 学 习 ， 感 受 逻 辑 证 明 在 数 学 以 及 日 常 生 活 中 的 作
用 ， 养 成 言 之 有 理 ， 论 证 有 据 的 习 惯
【 教 学 重 点 】 ：
运 用 综 合 法 、 分 析 法 证 明 数 学 问 题 。
【 教 学 难 点 】 ：
根 据 问 题 特 点 ， 选 择 适 当 的 证 明 方 法 证 明 数 学 问 题 或 将 两 种 方 法 结 合 使 用 ； 分 析 法
证 明 问 题 的 正 确 格 式
【 教 学 过 程 设 计 】 ：
教学环
节 教学活动 设计意图
一、
复习
回顾
综 合 法 和 分 析 法 的 思 考 过 程 、 特 点
综 合 法 与 分 析 法 的 关 系
一、
复习
回顾
综 合 法 和 分 析 法 的 思 考 过 程 、 特 点
综 合 法 与 分 析 法 的 关 系
二 、
应 用
1. 例 3． 如 图 所 示 ， SA⊥ 平 面 ABC， AB⊥
BC ， 过 A 作 SB 的 垂 线 ， 垂 足 为 E ， 过 E
作 SC 的 垂 线 ， 垂 足 为 F。 求 证 ： AF⊥ SC。
证 明 ： 要 证 AF⊥ SC
只 需 证 SC⊥ 平 面 AEF，
只 需 证 AE ⊥ SC （ 因 为
________________）
只 需 证 AE⊥ 平 面 SBC，
只 需 证 AE⊥ BC（ 因 为 ________________）
只 需 证 BC⊥ 平 面 SAB，
只 需 证 BC⊥ SA（ 因 为 ________________）
由 SA⊥ 平 面 ABC 可 知 ， 上 式 成 立 。
所 以 ， AF⊥ SC。
尝 试 让 学 生 用 口 头 叙 述 例 3 的 综 合 法 证 明 过 程 。
2. 例 4． 已 知 ， 且
给 学 生 独 立 思 考 的
时 间 ， 再 师 生 共 同
讨 论 分 析 ： 线 线 垂
直 与 线 面 垂 直 的 相
互 转 化 （ 线 线 垂 直
线 面 垂 直 线
线 垂 直 ）
, 2k
πα β π≠ +
⇐ ⇐
E
S
F
A
B
C， ①
， ②
求 证 ：
分 析 ： 通 过 观 察 ， 首 先 应 从 已 知 条 件 中 消 去 ， 得 到 一 个 关 于
的 关 系 式 ， 而 求 证 式 中 出 现 的 是 切 函 数 ， 所 以 可 以
将 切 函 数 转 化 为 弦 函 数 ， 正 余 弦 的 转 化 因 有 二 次 ， 不 成 问 题 。
证 明 ： 因 为 ，
所 以 将 ① ② 代 入 上 式 ， 可 得
③
另 一 方 面 ， 要 证 ： 成 立
即 证 ，
即 证
即 证
即 证
由 于 上 式 与 ③ 相 同 ， 于 是 问 题 得 证 。
从 例 4 可 以 看 到 ， 在 解 决 问 题 时 ， 我 们 经 常 把 综 合 法 和 分
析 法 结 合 起 来 使 用：根 据 条 件 的 结 构 特 点 去 转 化 结 论 得 到 中 间
结 论 Q； 根 据 结 论 的 结 构 特 点 去 转 化 条 件 得 到 中 间 结 论 P。 若
由 P 可 以 推 出 Q 成 立 ， 就 可 以 证 明 结 论 成 立 。
阅 读 P100 上 方
分 析 要 到 位 ， 通 过
本 例 进 一 步 熟 悉 综
合 法 与 分 析 法 的 证
题 思 路 特 点
更 直 观 了 解 综 合 法
与 分 析 法 的 结 合 运
用
三 、
练 习
巩 固
P89.3
及 时 讲 评 学 生 板
演 过 程 中 出 现 的 问
题
四 、
知 识
小 结
综 合 法 和 分 析 法 的 思 考 方 向 恰 好 相 反 ，一 般 来 说 ，分 析 法 作 为
思 考 过 程 比 较 自 然 ， 容 易 找 到 证 题 路 径；而 综 合 法 作 为 证 明 过
程 ， 形 式 简 洁 、 条 理 清 晰 、 易 于 表 达 ， 令 人 产 生 严 谨 、 完 善 的
感 觉 。但 在 思 维 成 分 中 ，纯 粹 的 分 析 法 和 纯 粹 的 综 合 法 是 很 少
的 ， 往 往 是 在 分 析 中 有 综 合 ， 在 综 合 中 又 有 分 析 。
五 、
课 后
作 业
1. P91.习 题 2.2 A 组 3.4.
2. P91.习 题 2.2 B 组 3.
sin cos 2sinθ θ α+ =
2sin cos sinθ θ β=
2 2
2 2
1 tan 1 tan
1 tan 2(1 tan )
α β
α β
− −=+ +
θ
sin sinα β与
2(sin cos ) 2sin cos 1θ θ θ θ+ − =
2 24sin 2sin 1α β− =
2 2
2 2
1 tan 1 tan
1 tan 2(1 tan )
α β
α β
− −=+ +
22
22
2 2
2 2
sinsin 11 coscos
sin sin1 2(1 )cos cos
βα
βα
α β
α β
−−
=
+ +
2 2 2 21cos sin (cos sin )2
α α β β− = −
2 211 2sin (1 2sin )2
α β− = −
2 24sin 2sin 1α β− =六 、
设 计
反 思
学 生 在 做 证 明 题 时 ，往 往 格 式 会 不 规 范 ，最 易 范 的 错 误 是 从 求
证 式 直 接 证 起 ，要 注 意 纠 正 。本 节 的 作 业 A 组 第 4 题 要 稍 做 提
示 。
【 练习与测试】 ：
1． 用分析法证明：欲使①A>B，只需②CN C. M≤N D. MN
∵15 − ⇐ 15 2 6< ⇐ 15 24<
babaRba +≥+∈ + 2
2
1
2
1:,, 证明
baab
ba
+≥+ 2
2
+∈ Rba,
abbabaabba 424)( 222 ≥++≥+ 即证
0)(,02 222 ≥−≥+− bababa 即
, ,a b R+∈
1 1
2 2 3 32 3求证: ( a +b ) >( a +b )
,a b R+∈
6( )⇐ ⇐
1 1 1 1
2 2 3 3 2 2 6 3 3 2 2 3 3 3 22 3 2 3( a +b ) >( a +b ) ( a +b ) ) >( ( a +b ) ( a +b ) >( a +b )
2 2 2 23 ( ) 2a b a b⇐ + ⇐ + >6 4 2 2 4 6 6 3 3 6 3 3a +3a b +3a b +b >a +2a b b a b
2 23( ) 2a b⇐ + > ab
3,a ≥ 求证: a- a- 1< a- 2- a- 3
+a+ a- 3< a- 2 a- 1
2a + a( a- 3)+( a- 3) 0
所以因需证 a+b-2c
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