§ 2.2.2 反 证 法
【 学 情 分 析 】 ：
前 面 我 们 学 习 了 两 种 直 接 证 明 问 题 的 方 法 — — 综 合 法 和 分 析 法 。 在 以 前 的 学 习 中 ，
学 生 已 经 接 触 过 用 反 证 法 证 明 数 学 命 题 ，本 节 课 进 一 步 熟 悉 运 用 反 证 法 证 明 某 些 直 接 证
明 较 难 解 决 的 数 学 问 题 。
【 教 学 目 标 】 ：
（ 1） 知 识 与 技 能 ： 结 合 已 学 过 的 数 学 实 例 ， 了 解 间 接 证 明 的 方 法 — — 反 证 法 ； 了 解 反 证
法 的 思 考 过 程 、 特 点
（ 2） 过 程 与 方 法 ： 能 够 运 用 反 证 法 证 明 数 学 问 题
（ 3） 情 感 态 度 与 价 值 观 ： 通 过 本 节 课 的 学 习 ， 感 受 逻 辑 证 明 在 数 学 以 及 日 常 生 活 中 的 作
用 ， 养 成 言 之 有 理 ， 论 证 有 据 的 习 惯
【 教 学 重 点 】 ：
了 解 反 证 法 的 思 考 过 程 、 特 点 ； 运 用 反 证 法 证 明 数 学 问 题 。
【 教 学 难 点 】 ：
运 用 反 证 法 证 明 数 学 问 题 。
【 教 学 过 程 设 计 】 ：
教学环
节 教学活动 设计意图
一、
提出
问题
问题 1、任找 370 个人，他们中生日有没有相同的呢？
问题 2、将 9 个球分别染成红色或白色，无论怎样染，
至少有 5 个球是同色的，你能证明这个结论吗？
思考：通过以上几个练习，大家已经初步体会到反证
法的作用，你能不能总结一下应用反证法的概念及其步
骤？
从实际生活的例子出发，使学生对反
证法的基本方法和步骤有一个更深刻
的认识。
二 、
反 证
法 定
义
1：反证法的概念：
假设原命题不成立，经过正确的推理,最后得出矛盾，
因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明
方法叫反证法．
2：反证法的基本步骤： 1）:假设命题结论不成立，
即假设结论的反面成立；2）:从这个假设出发，经过推理
论证，得出矛盾；3）:从矛盾判定假设不正确，从而肯定
命题的结论正确.
3：应用反证法的情形：1）：直接证明困难；2）：
需分成很多类进行讨论； 3）：结论为“至少”、“至
多”、“有无穷多个”类命题； 4）：结论为“唯一”类
命题；
三 、
应 用
例 1、已知直线 和平面 ，如果 ，
且 ，求证 。
解析：让学生理解反
证法的严密性和合理性；
证明：因为 ,
所以经过直线 a , b 确定
一个平面 。
因为 ，而 ，
所以 与 是两个不同的平面．
因为 ，且 ，
直 观 了 解 反 证 法 的 证 明 过 程 。否
定 结 论 ， 推 出 矛 盾 。 提 醒 学 生 ：
使 用 反 证 法 进 行 证 明 的 关 键 是
在 正 确 的 推 理 下 得 出 矛 盾 。这个
矛 盾 可 以 是 与 已 知 条 件 矛 盾 ，或
与 假 设 矛 盾 ， 或 与 定 义 、 公 理 、
定 理 、 事 实 矛 盾 等 。
进 上 步 熟 悉 反 证 法 的 证 题 思 路
及 步 骤 。
引 导 学 生 结 合 思 考 题 和 例 题
归 纳 出 反 证 法 所 适 用 的 题 型 特
,a b α ,a bα α⊄ ⊂
||a b ||a α
||a b
β
a α⊄ a β⊂
α β
b α⊂ b β⊂
所以 .
下面用反证法证明直线 a 与平面 没有公共点．假设
直线 a 与平面 有公共点 ，则 ，即点
是直线 a 与 b 的公共点，这与 矛盾．所以 .
点评：用反证法的基本步骤：
第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论 ；
第二步 作出与所证不等式相反的假定；
第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，
推出矛盾结果；
第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的
假定不正确，于是原证不等利
例 2、求证： 不是有理数
解析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用
反证法．假设 不是无理数，那么它就是有理数．我们
知 道 ， 任 一 有 理 数 都 可 以 写 成 形 如 （ 互 质 ，
”的形式．下 面我们看看能否由此推出矛
盾．
证明：假设 不是 无理数，那么它就是有理数．于
是，存在互质的正整数 ，使得 ，从而有
,
因此， ，
所以 m 为偶数．于是可设 ( k 是正整数），
从而有
，即
所以 n 也为偶数．这与 m , n 互质矛盾！
由上述矛盾可知假设 错误，从而 是无理数．
点评：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命
题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确
的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命
题正确的一种方法。
点 和 一 般 步 骤 。培养 学 生 的 归 纳
能 力 。
四 、
归 纳
1.通 过 思 考 题 和 例 题 ， 我 们 发 现 反 证 法 适 用 于 什
么 样 的 题 目 ？
（ 1） 要 证 的 结 论 与 条 件 之 间 的 联 系 不 明 显 ，
直 接 由 条 件 推 出 结 论 的 线 索 不 够 清 晰 ；
（ 2）如 果 从 正 面 证 明 ， 需 要 分 成 多 种 情 形 进
行 分 类 讨 论 ， 而 从 反 面 进 行 证 明 ， 只 要 研 究 一 种
或 很 少 的 几 种 情 形 。
2. 归 纳 一 下 反 证 法 的 证 题 一 般 步 骤 ：
（ 1） 否 定 命 题 的 结 论 ；
（ 2） 进 行 合 逻 辑 的 推 理 ；
（ 3） 导 出 任 何 一 种 矛 盾 ；
（ 4） 肯 定 原 命 题 的 结 论 。
bα β = α
α P P bα β∈ = P
||a b ||a α
2
2
m
n ,m n
*,m Z n N∈ ∈
2
,m n 2 m
n
=
2m n=
2 22m n=
2m k=
2 24 2k n=
2 22n k=
2五 、
练 习
巩 固
1. P91.练 习 1.2
2. 补 充 ：
用 反 证 法 证 明
（ 1） 如 果 .
（ 2）求 证：过 直 线 外 一 点 ， 有 且 只 有 一 条 直
线 和 这 条 直 线 平 行 。
通 过 讲 评 可 以 及 时 发 现 学 生 解
题 中 存 在 的 问 题 ， 予 以 更 正 。
六 、
知 识
小 结
反 证 法 的 证 题 步 骤 ：
（ 1） 否 定 命 题 的 结 论 ；
（ 2） 进 行 合 逻 辑 的 推 理 ；
（ 3） 导 出 任 何 一 种 矛 盾 ；
（ 4） 肯 定 原 命 题 的 结 论 。
反 证 法 的 适 宜 题 型 ：
（ 1） 对 于 起 始 命 题 、 基 本 命 题 、 特 殊 命 题 ，
由 于 可 以 用 到 的 定 理 、 公 式 甚 少 或 不 易 找 出 直 接
证 明 的 关 系 ， 用 反 证 法 有 时 会 骤 得 较 好 的 效 果 ；
（ 2） 命 题 的 结 论 中 含 “ 不 ”、无 ” 等 （ 称 为
否 定 形 式 命 题 ），往 往 可 以 考 虑 反 证 法 ；
（ 3）命 题 用 反 面 结 论 较 易 推 出 矛 盾 ，适 宜 使
用 反 证 法 ；
（ 4） 命 题 结 论 中 含 “ 至 多 ”、“ 至 少 ”、“ 超
过 ”、“ 不 超 过 ” 等 词 ， 往 往 可 以 考 虑 反 证 法 ；
（ 5）惟 一 性 的 命 题 ，直 接 证 不 如 反 证 法 更 易
于 入 手 。
通 过 小 结 总 结 所 学 ， 突 出 重 点 ，
强 调 难 点
七 、
课 后
作 业
P102 习 题 2.2 A 组 1
八 、
设 计
反 思
反 证 法 学 生 并 不 陌 生 ，在 初 中 就 已 有 所 接 触 。通
过 本 节 课 的 学 习 进 一 步 明 确 其 步 骤 ， 寻 找 矛 盾
点 ，哪 些 题 型 是 适 用 于 反 证 法 证 的 。感 觉 学 生 应
该 容 易 接 受 。
【 练习与测试】 ：
1．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程 则 a、b、c 中至少有一个
是偶数时，下列假设中正确的是（ ）
A. 假设 a、b、c 都是偶数 B. 假设 a、b、c 都不是偶数
C. 假设 a、b、c 至多有两个是偶数 D. 假设 a、b、c 至多有两个是偶数
答案：B
解：反证法的假设，恰好与结论相反，“至少有一个”的否定是“一个也没有”。选 B。
2．用反证法证明命题“若整数 n 的立方是偶数，则 n 也是偶数”如下：假设 n 是奇数，则 n=2k+1(k∈Z)，
_____________________________________，这与已知 是偶数矛盾，所以 n 是偶数。
答案：
解：和的立方公式展开
012,2
1 2 ≠−+> xxx 那么
2 0( 0)ax bx c a+ + = ≠ 有有理根,
3 3(2 1)n k= + = 3n
3 22(4 6 3 ) 1k k k+ + +
3 3 3 2 3 2(2 1) 8 12 6 1 2(4 6 3 ) 1n k k k k k k k= + = + + + = + + +答案为 。
3．已知平面 和不在这个平面内的直线 a 都垂直于平面 ，求证：直线
a∥平面 。
证明：假设 a 不平行 ，则 a 与 必有公共点，设为点 A，过点 A 在平面
内作直线 c⊥b，由 ⊥ 知，c⊥ ，而 a⊥ ，则 a∥c。这与 a、c
相交于点 A 相矛盾，因此，假设错误，即 a∥ 。
4. 已知函数 。（1）证明：函数
上为增函数；（2）用反证法证明方程 f(x)=0 没有负根。
证明：（1）令
当 x≠-1 时 ∴在 上 g(x)为增函数。 ∵a>1 时，
在 上为增函数，∴ 上为增函数。
（2）设存在 ，满足 ，则
所以 ，与假设矛盾，故方程 f(x)=0 没有负根。
5．设 。证明：a,b,c 都是不大于 的非负数。
证明：假设结论不正确，可设
（1）若 c
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